2026-08-05
Геометрическое происхождение распространяющейся волны
Может ли свободная бегущая волна быть не объектом, испущенным электроном, а новым геометрическим состоянием самого электрона? В настоящей работе рассматривается именно такая возможность: замкнутая волновая структура электрона размыкается целиком, изменяет частотно-пространственный масштаб и превращается в распространяющуюся волну, сохраняя полную энергию исходного состояния.
Введение
В обычном описании излучения электрон остаётся частицей, а электромагнитное поле получает лишь разность энергий между начальным и конечным состояниями. Здесь исследуется принципиально иной процесс. Предполагается, что локализованный электрон способен полностью утратить замкнутую геометрию и перейти в развёрнутое волновое состояние. Поэтому после перехода не существуют два самостоятельных объекта — оставшийся электрон и отделившаяся от него волна. Существует одна и та же физическая система, представленная до и после перехода двумя различными геометрическими состояниями.
Центральный тезис работы состоит в следующем:
\[\tag{1}
\boxed{
\begin{gathered}
\text{электрон не испускает отдельную волну, а целиком переходит}
\\
\text{из замкнутого состояния в развёрнутое}
\end{gathered}
}
\]
В замкнутом состоянии внутренняя волна электрона циклически возвращается к исходной фазе и к исходному пространственному положению. При полном геометрическом переходе эта волна размыкается, её радиус увеличивается, а циклическая фазовая координата разворачивается в транспортную координату. Полная энергия при этом не выделяется из электрона, а сохраняется как энергия того же электрона в новом волновом состоянии.
Такое преобразование требует различать внутреннюю геометрическую частоту замкнутого электрона \(\omega_e\) и энергетическую, или комптоновскую, частоту \(\omega_C\). В принятой модели они связаны постоянной тонкой структуры. После размыкания именно \(\omega_C\) становится частотой развёрнутой волны. Одновременное сохранение энергии и инварианта \(r\omega=c\) приводит к увеличению радиуса от внутреннего масштаба \(r_e\) до приведённого комптоновского масштаба \(\overline{\lambda}_C\).
Работа не описывает обычный атомный переход с энергией фотона \(E_i-E_f\). Рассматривается отдельная геометрическая гипотеза полного преобразования электрона, для которой энергия развёрнутого состояния равна полной исходной энергии электрона. Задача статьи — установить внутренне согласованную цепочку между сохранением энергии, изменением масштаба, размыканием фазы, возникновением транспортной координаты и импульсом бегущей волны.
1. Один электрон — несколько геометрических состояний
Основой модели служит нормированный сплит-оператор
\[\tag{2}
\boxed{
J(a,b)=\j^a(-\j)^b
=
\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}
}.
\]
Здесь \(\ep\) и \(\em\) — взаимно дополнительные идемпотенты:
\[\tag{3}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1,
\qquad
\j=\ep-\em.
\]
Параметр \(a\) задаёт внутреннее фазовое изменение, а параметр \(b\) связывается с внешним движением локализованного состояния:
\[\tag{4}
a=\varpi t,
\qquad
\pi\varpi=\omega,
\qquad
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi},
\qquad
\beta=\frac{v}{c}.
\]
Норма оператора сохраняется:
\[\tag{5}
J\overline J=1,
\qquad
E_{\mathrm{ext}}+E_{\mathrm{int}}=\mathrm{const}.
\]
В настоящей концепции различные состояния электрона не требуют различных алгебраических операторов. Меняется геометрический способ считывания непрерывного показателя \(a(t)\). В локализованном состоянии фаза считывается циклически, а в развёрнутом состоянии сохраняется полное число завершённых фазовых оборотов:
\[\tag{6}
\boxed{
\begin{aligned}
\text{замкнутое состояние:}
&\qquad
\Theta_e=\pi a_e\bmod 2\pi,
\\
\text{развёрнутое состояние:}
&\qquad
\Theta_{\mathrm w}=\pi(a_{\mathrm w}-a_{\mathrm w0})\in\mathbb R.
\end{aligned}
}
\]
Следовательно, бегущая волна вводится не как отделившаяся часть электрона и не как результат действия нового транспортного оператора. Она рассматривается как полное развёрнутое состояние того же электрона, описываемое тем же оператором \(J\) при ином геометрическом прочтении его показателя.
2. Замкнутое состояние и две частоты электрона
Для внутреннего волнового масштаба замкнутого электрона принимается инвариант скорости
\[\tag{7}
\boxed{r_e\omega_e=c}.
\]
Величина \(\omega_e\) здесь является внутренней геометрической частотой. Полная энергия покоя электрона связана не непосредственно с \(\hbar\omega_e\), а с комптоновской частотой \(\omega_C\):
\[\tag{8}
\boxed{
E_e^{(0)}
=m_ec^2
=\hbar\omega_C
=\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar\omega_e
}.
\]
Отсюда следует частотное отношение
\[\tag{9}
\boxed{
\omega_C=\alpha_{\mathrm{fs}}\omega_e
}.
\]
Полный пространственный период внутренней волны равен длине замкнутого фазового обхода:
\[\tag{10}
\lambda_e=2\pi r_e.
\]
Условие устойчивого замыкания имеет вид
\[\tag{11}
\oint_{\Gamma_e}k_e\,ds=2\pi n,
\qquad
n\in\mathbb Z.
\]
Для одного фазового периода это условие можно представить как одновременный возврат фазы и положения:
\[\tag{12}
(\varphi,z)
\longrightarrow
(\varphi+2\pi,z).
\]
Именно совместный возврат фазы и пространственной координаты делает состояние локализованным. Возможная внутренняя асимметрия двух ветвей может нарушить устойчивость этой конфигурации, однако она не трактуется здесь как энергия отдельной испускаемой компоненты. Её роль ограничивается возможным запуском полного геометрического перехода.
3. Полный геометрический переход и сохранение энергии
Пусть в момент \(t_0\) замкнутая волновая структура теряет возможность возвращаться к прежнему пространственному центру. По центральной гипотезе статьи в развёрнутое состояние переходит весь электрон. Поэтому энергия волны равна полной энергии исходного электрона:
\[\tag{13}
\boxed{
E_{\mathrm w}=E_e^{(0)}=m_ec^2
}.
\]
Если для развёрнутого состояния выполняется соотношение Планка
\[\tag{14}
E_{\mathrm w}=\hbar\omega_{\mathrm w},
\]
то его частота определяется всей сохраняемой энергией:
\[\tag{15}
\boxed{
\omega_{\mathrm w}
=\frac{E_e^{(0)}}{\hbar}
=\omega_C
=\alpha_{\mathrm{fs}}\omega_e
}.
\]
Таким образом, сохранение энергии не означает сохранения внутренней геометрической частоты \(\omega_e\). При переходе меняется способ частотно-геометрического представления той же энергии: замкнутая структура с частотой \(\omega_e\) превращается в развёрнутую структуру с энергетической частотой \(\omega_{\mathrm w}=\omega_C\).
После полного перехода локализованный электрон возле источника не остаётся. Поэтому равенства \(E_\gamma=E_i-E_f\) и \(\omega_\gamma=(E_i-E_f)/\hbar\), применимые к обычному излучению, не входят в рассматриваемую схему.
4. Изменение радиуса при сохранении инварианта
Предположим, что инвариант \(r\omega=c\) связывает оба геометрических состояния:
\[\tag{16}
\boxed{
r_e\omega_e
=
r_{\mathrm w}\omega_{\mathrm w}
=c
}.
\]
Тогда радиус развёрнутой волны равен
\[\tag{17}
r_{\mathrm w}
=r_e\frac{\omega_e}{\omega_{\mathrm w}}.
\]
С учётом выражения (15) получаем масштабное преобразование
\[\tag{18}
\boxed{
\frac{r_{\mathrm w}}{r_e}
=
\frac{\omega_e}{\omega_{\mathrm w}}
=
\frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}}
}.
\]
Следовательно, внутренний радиус электрона увеличивается до приведённого комптоновского радиуса:
\[\tag{19}
\boxed{
r_{\mathrm w}
=\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}}
=\frac{c}{\omega_C}
=\frac{\hbar}{m_ec}
=\overline{\lambda}_C
}.
\]
Полный пространственный период развёрнутого состояния равен комптоновской длине волны:
\[\tag{20}
\boxed{
\lambda_{\mathrm w}
=2\pi r_{\mathrm w}
=\frac{2\pi c}{\omega_C}
=\frac{h}{m_ec}
=\lambda_C
}.
\]
Таким образом, увеличение радиуса не вводится как независимый постулат. Оно следует из одновременного принятия частотного преобразования \(\omega_{\mathrm w}=\alpha_{\mathrm{fs}}\omega_e\) и сохранения инварианта \(r\omega=c\).
5. Масштабирование двухцентровой геометрии
Пусть расстояние между центрами двух внутренних волновых ветвей в замкнутом состоянии равно \(d_e\). Если при полном переходе вся геометрия электрона масштабируется с одним коэффициентом, то
\[\tag{21}
d_{\mathrm w}
=d_e\frac{\omega_e}{\omega_{\mathrm w}}
=\frac{d_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}}.
\]
Для принятого ранее условия \(d_e=r_e\) получаем
\[\tag{22}
\boxed{
d_{\mathrm w}=r_{\mathrm w},
\qquad
2\pi d_{\mathrm w}=\lambda_{\mathrm w}
}.
\]
В этой интерпретации масштабируется не отделившаяся волновая компонента, а вся двухцентровая структура электрона. Отношение между межцентровым расстоянием и радиусом сохраняется, тогда как абсолютный масштаб увеличивается в \(1/\alpha_{\mathrm{fs}}\) раз.
6. Размыкание и превращение фазового обхода в перенос
До перехода один фазовый оборот возвращает волну к исходному центру. После полного размыкания прежняя замкнутая геометрия перестаёт существовать. Та же фаза теперь воспроизводится не в исходной точке, а в следующей точке одномерного канала распространения:
\[\tag{23}
\boxed{
(\varphi,z)
\longrightarrow
(\varphi+2\pi,z+\lambda_{\mathrm w})
}.
\]
Один фазовый оборот превращается в один поступательный пространственный шаг:
\[\tag{24}
\boxed{
\Delta\varphi=2\pi
\quad\Longleftrightarrow\quad
\Delta z=\lambda_{\mathrm w}
}.
\]
Такому условию соответствует бегущая волна
\[\tag{25}
\Psi(z,t)
=A e^{i(k_{\mathrm w}z-\omega_{\mathrm w}t)},
\qquad
k_{\mathrm w}
=\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm w}}
=\frac{\omega_{\mathrm w}}{c}.
\]
Фазовая периодичность при этом не исчезает:
\[\tag{26}
\Psi(z+\lambda_{\mathrm w},t)=\Psi(z,t).
\]
Исчезает локальное пространственное замыкание. Поэтому размыкание следует понимать не как обрыв волны или недостаток времени для завершения оборота, а как топологическую замену возврата трансляцией.
7. Единый оператор и развёрнутая транспортная координата
Полный переход не требует отдельного оператора переноса. Волновая проекция того же оператора \(J\) после изменения масштаба имеет вид
\[\tag{27}
J_{{\mathrm w},\em}(t)
=\em e^{i\pi a_{\mathrm w}(t)}.
\]
Это выражение является математической проекцией полного состояния на плоскость \(\em\), а не отдельной физической частью электрона. Пусть переход начинается в момент \(t_0\), причём \(a_{\mathrm w0}=a_{\mathrm w}(t_0)\). Для развёрнутого состояния примем
\[\tag{28}
a_{\mathrm w}(t)
=a_{\mathrm w0}
+\frac{\omega_{\mathrm w}}{\pi}(t-t_0).
\]
Непрерывное изменение показателя определяет развёрнутую фазу
\[\tag{29}
\Theta_{\mathrm w}(t)
=\pi\bigl[a_{\mathrm w}(t)-a_{\mathrm w0}\bigr]
=\omega_{\mathrm w}(t-t_0).
\]
Умножение этой фазы на новый геометрический радиус даёт транспортную координату:
\[\tag{30}
\boxed{
s_{\mathrm w}(t)
=r_{\mathrm w}\Theta_{\mathrm w}(t)
=\pi r_{\mathrm w}
\bigl[a_{\mathrm w}(t)-a_{\mathrm w0}\bigr]
=c(t-t_0)
}.
\]
Скорость распространения следует из развёртки показателя и инварианта:
\[\tag{31}
\boxed{
\frac{ds_{\mathrm w}}{dt}
=\pi r_{\mathrm w}\dot a_{\mathrm w}
=r_{\mathrm w}\omega_{\mathrm w}
=c
}.
\]
Текущее значение \(e^{i\pi a_{\mathrm w}}\) не сохраняет число завершённых оборотов, поэтому из него одного нельзя восстановить пройденный путь. Для транспортного описания необходимо непрерывное развёрнутое значение \(a_{\mathrm w}(t)\).
При переходе изменяются геометрический масштаб и способ считывания показателя \(a\), но сохраняется операторная основа модели: циклическая координата \(\pi a\bmod 2\pi\) превращается в развёрнутую координату \(s=\pi r(a-a_0)\).
8. Фаза, импульс и свободное распространение
После выбора одномерного канала фаза бегущей волны записывается как
\[\tag{32}
\Phi(z,t)=k_{\mathrm w}z-\omega_{\mathrm w}t.
\]
Её пространственный градиент определяет импульс:
\[\tag{33}
\boxed{
p_{\mathrm w}
=\hbar\frac{\partial\Phi}{\partial z}
=\hbar k_{\mathrm w}
}.
\]
Если развёрнутое состояние подчиняется безмассовому закону распространения \(E=pc\), то
\[\tag{34}
\boxed{
p_{\mathrm w}
=\frac{E_{\mathrm w}}{c}
=\frac{m_ec^2}{c}
=m_ec
}.
\]
Временная и пространственная производные одной фазы задают энергию и импульс:
\[\tag{35}
\boxed{
E_{\mathrm w}
=-\hbar\frac{\partial\Phi}{\partial t}
=\hbar\omega_{\mathrm w},
\qquad
p_{\mathrm w}
=\hbar\frac{\partial\Phi}{\partial z}
=\hbar k_{\mathrm w}
}.
\]
Для свободной волны постоянный энергетический градиент вдоль пути не требуется. После завершения перехода её энергия сохраняется:
\[\tag{36}
\frac{dE_{\mathrm w}}{dz}=0.
\]
Энергетическая асимметрия может участвовать в нарушении замыкания и выборе направления в области перехода, но дальнейшее распространение определяется развёрнутой фазовой координатой. Условие постоянной фазы \(d\Phi=0\) даёт
\[\tag{37}
k_{\mathrm w}dz-\omega_{\mathrm w}dt=0,
\qquad
\boxed{
\frac{dz}{dt}
=\frac{\omega_{\mathrm w}}{k_{\mathrm w}}
=c
}.
\]
9. Комптоновский масштаб и соотношение де Бройля
Из выражений (19) и (34) следует
\[\tag{38}
r_{\mathrm w}
=\frac{\hbar}{m_ec}
=\frac{\hbar}{p_{\mathrm w}}.
\]
Следовательно, радиус развёрнутого состояния совпадает с приведённой длиной волны де Бройля для импульса \(p_{\mathrm w}=m_ec\):
\[\tag{39}
\boxed{
r_{\mathrm w}
=\overline{\lambda}_{\mathrm{dB},\mathrm w}
=\frac{\hbar}{p_{\mathrm w}}
}.
\]
Полный фазовый период равен
\[\tag{40}
\boxed{
2\pi r_{\mathrm w}
=\frac{h}{p_{\mathrm w}}
=\lambda_{\mathrm{dB},\mathrm w}
=\lambda_C
}.
\]
В замкнутом состоянии величина \(2\pi r_e\) является длиной внутреннего фазового обхода. После масштабного и топологического преобразования величина \(2\pi r_{\mathrm w}\) становится продольным периодом бегущей волны. Тем самым комптоновское и де-бройлевское соотношения получают в модели единое геометрическое прочтение.
10. Формирование ограниченного волнового пакета
Гармоническая функция (25) бесконечна в пространстве и описывает только несущую. Если полный геометрический переход длится конечное время \(\Delta t\), развёрнутое состояние должно быть представлено волновым пакетом:
\[\tag{41}
\Psi(z,t)
=A\!\left(t-\frac{z}{c}\right)
e^{i(k_{\mathrm w}z-\omega_{\mathrm w}t)}.
\]
Его продольная протяжённость оценивается выражением
\[\tag{42}
\boxed{
L_{\mathrm{packet}}\sim c\Delta t
}.
\]
Необходимо различать геометрический радиус, период несущей и полную длину пакета:
\[\tag{43}
\boxed{
r_{\mathrm w}=\frac{c}{\omega_C},
\qquad
\lambda_{\mathrm w}=2\pi r_{\mathrm w},
\qquad
L_{\mathrm{packet}}\sim c\Delta t
}.
\]
Пакет может содержать один или много фазовых периодов. Конечность времени преобразования приводит к конечной ширине спектра:
\[\tag{44}
\Delta\omega\,\Delta t\gtrsim1.
\]
После завершения перехода исходная локализованная структура полностью отсутствует, а сформированный пакет продолжает распространяться как свободное решение волнового уравнения:
\[\tag{45}
\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}
-c^2\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2}
=0.
\]
Этот переход представлен в конце этой работы.
11. Направление и ограничения физической интерпретации
Развёртка показателя \(a(t)\) определяет длину пути и скорость вдоль уже выбранной оси, но сама по себе не задаёт ориентацию этой оси в трёхмерном пространстве. Поэтому направление волнового вектора \(\widehat{\mathbf n}\) должно определяться динамикой полного перехода, геометрией внутренних ветвей, внешним полем, граничными условиями либо вероятностным законом:
\[\tag{46}
\mathbf k_{\mathrm w}=k_{\mathrm w}\widehat{\mathbf n},
\qquad
\mathbf p_{\mathrm w}=\hbar\mathbf k_{\mathrm w}.
\]
Полное превращение покоящегося электрона в единственную свободную волну требует также выполнения закона сохранения импульса. Если исходный электрон имел нулевой импульс, направленный волновой пакет с импульсом \(m_ec\) не может возникнуть без второго участника процесса или отдачи окружающей системы.
Кроме энергии и импульса электрон обладает электрическим зарядом, спином и лептонным числом. Если развёрнутая волна является тем же электроном, модель должна показать, каким образом эти свойства представлены в её геометрии и как они наблюдаются после перехода. Без такого механизма развёрнутый электрон нельзя автоматически отождествлять со стандартным фотоном, который электрически нейтрален и имеет иные квантовые числа.
Предлагаемая схема является гипотезой полного геометрического состояния электрона, а не заменой стандартной теории атомного излучения. Для покоящегося электрона она задаёт энергию \(m_ec^2\), частоту \(\omega_C\) и длину волны \(\lambda_C\); волна произвольной энергии \(E_i-E_f\) этой схемой не описывается.
12. Последовательность полного геометрического перехода
Основные соотношения модели образуют следующую цепочку:
\[\tag{47}
\boxed{
\begin{aligned}
E_e^{(0)}
&=m_ec^2
=\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar\omega_e
=\hbar\omega_C,
\\
E_{\mathrm w}
&=E_e^{(0)},
\qquad
\omega_{\mathrm w}
=\omega_C
=\alpha_{\mathrm{fs}}\omega_e,
\\
r_e\omega_e
&=r_{\mathrm w}\omega_{\mathrm w}=c,
\qquad
r_{\mathrm w}
=\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}}
=\overline{\lambda}_C,
\\
\lambda_{\mathrm w}
&=2\pi r_{\mathrm w}=\lambda_C,
\\
(\varphi,z)
&\longrightarrow
(\varphi+2\pi,z+\lambda_{\mathrm w}),
\\
s_{\mathrm w}
&=\pi r_{\mathrm w}(a_{\mathrm w}-a_{\mathrm w0})
=c(t-t_0),
\\
p_{\mathrm w}
&=\hbar k_{\mathrm w}
=\frac{E_{\mathrm w}}{c}
=m_ec.
\end{aligned}
}
\]
Эта последовательность объединяет три преобразования. Частотное преобразование заменяет внутреннюю геометрическую частоту \(\omega_e\) энергетической частотой \(\omega_C\). Масштабное преобразование увеличивает радиус в \(1/\alpha_{\mathrm{fs}}\) раз. Топологическое преобразование заменяет замкнутый фазовый обход развёрнутой транспортной координатой. Во всех трёх случаях речь идёт не об отделении части энергии, а о полном изменении геометрического состояния одного электрона.
13. Что следует из принятых соотношений и что остаётся гипотезой
При принятии равенств \(E_e^{(0)}=\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar\omega_e=\hbar\omega_C\), \(E_{\mathrm w}=E_e^{(0)}\), \(E_{\mathrm w}=\hbar\omega_{\mathrm w}\) и инварианта \(r\omega=c\) алгебраически следуют:
1. Частота развёрнутого состояния \(\omega_{\mathrm w}=\omega_C=\alpha_{\mathrm{fs}}\omega_e\).
2. Масштабное отношение \(r_{\mathrm w}/r_e=1/\alpha_{\mathrm{fs}}\).
3. Радиус \(r_{\mathrm w}=\hbar/(m_ec)=\overline{\lambda}_C\).
4. Пространственный период \(\lambda_{\mathrm w}=2\pi r_{\mathrm w}=h/(m_ec)=\lambda_C\).
5. При дополнительном принятии закона \(E=pc\) — импульс \(p_{\mathrm w}=m_ec\) и соотношение \(r_{\mathrm w}=\hbar/p_{\mathrm w}\).
Новые положения, которые пока остаются физическими и геометрическими гипотезами:
1. Электрон способен полностью перейти из локализованного состояния в развёрнутое волновое состояние.
2. Внутренняя частота \(\omega_e\) при размыкании преобразуется в энергетическую частоту \(\omega_C\).
3. Инвариант \(r\omega=c\) сохраняется между двумя различными геометрическими состояниями.
4. Локальное замыкание преобразуется в трансляционно-фазовое условие \((\varphi,z)\to(\varphi+2\pi,z+\lambda_{\mathrm w})\).
5. Непрерывный показатель \(a(t)\) после размыкания считывается как транспортная координата \(s=\pi r(a-a_0)\).
6. Развёрнутое состояние распространяется со скоростью \(c\) и подчиняется закону \(E=pc\).
7. Динамика перехода выбирает одномерный канал и его ориентацию во внешнем трёхмерном пространстве.
8. Геометрия развёрнутого состояния сохраняет либо согласованно преобразует заряд, спин и лептонное число электрона.
9. Полный процесс вместе с внешней системой удовлетворяет законам сохранения энергии, импульса и всех соответствующих квантовых чисел.
Формулы изменения частоты и радиуса являются следствиями принятых исходных равенств, но сами исходные равенства и механизм полного перехода требуют независимого физического обоснования. Такое разделение позволяет не смешивать внутреннюю математическую согласованность модели с её экспериментальной доказанностью.
Заключение
В работе построена геометрическая схема, центральным положением которой является полный переход электрона из замкнутого состояния в развёрнутое. Электрон не рассматривается как источник отдельной разностной волны. Его внутренняя волновая структура размыкается целиком, а полная энергия исходного электрона становится энергией того же объекта в состоянии бегущей волны:
\[\tag{48}
\boxed{
\text{замкнутый электрон}
\longrightarrow
\text{развёрнутый электрон-волна},
\qquad
E_{\mathrm w}=E_e^{(0)}
}.
\]
Различение внутренней геометрической частоты \(\omega_e\) и комптоновской частоты \(\omega_C\) устраняет кажущееся противоречие между сохранением энергии и изменением радиуса. Поскольку
\[\tag{49}
\omega_{\mathrm w}=\omega_C=\alpha_{\mathrm{fs}}\omega_e,
\]
сохранение инварианта \(r\omega=c\) приводит к увеличению радиуса:
\[\tag{50}
\boxed{
r_e
\longrightarrow
r_{\mathrm w}
=\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}}
=\overline{\lambda}_C
}.
\]
Топологически переход выражается заменой пространственного возврата трансляцией на одну длину волны. Циклическое считывание показателя \(a\) разворачивается, и без введения нового транспортного оператора возникает координата
\[\tag{51}
\boxed{
s_{\mathrm w}
=\pi r_{\mathrm w}(a_{\mathrm w}-a_{\mathrm w0})
=c(t-t_0)
}.
\]
Импульс развёрнутого состояния определяется градиентом фазы, тогда как постоянный градиент энергии вдоль свободного пути не требуется. При принятии безмассового закона распространения модель связывает энергию, импульс и комптоновский масштаб:
\[\tag{52}
\boxed{
E_{\mathrm w}=m_ec^2,
\qquad
p_{\mathrm w}=m_ec,
\qquad
r_{\mathrm w}=\frac{\hbar}{p_{\mathrm w}},
\qquad
\lambda_{\mathrm w}=\frac{h}{p_{\mathrm w}}=\lambda_C
}.
\]
Полученная конструкция внутренне согласует полное сохранение энергии с изменением частоты, радиуса и топологии волны. Вместе с тем она пока не доказывает возможность такого перехода. Для завершения модели необходимо вывести размыкание непосредственно из динамики оператора \(J\), установить механизм выбора направления, обеспечить сохранение импульса и показать геометрическое представление заряда, спина и лептонного числа.
Таким образом, предлагаемая работа задаёт не механизм обычного испускания фотона электроном, а более радикальную гипотезу: локализованный электрон и свободная бегущая волна могут быть двумя геометрическими состояниями одной волновой системы.
Почему локальный закон передачи приводит к волновому уравнению
Рассмотрим нормосохраняющую фазовую моду полного состояния. Если невозмущённое состояние удовлетворяет условию \(J_0\overline J_0=1\), то такую моду можно представить в виде
\[\tag{A1}
J(z,t)=J_0(z)e^{i\psi(z,t)}.
\]
Множитель \(e^{i\psi}\) изменяет фазу, но не модуль состояния:
\[
J\overline J
=
J_0\overline J_0
e^{i\psi}e^{-i\psi}
=1.
\]
Введём две локальные величины, имеющие размерность обратной длины:
\[\tag{A2}
q=\frac{1}{c}\frac{\partial\psi}{\partial t},
\qquad
p=\frac{\partial\psi}{\partial z}.
\]
Поскольку \(p\) и \(q\) являются производными одной фазовой функции, совпадение смешанных производных автоматически даёт
\[
\frac{\partial p}{\partial t}
=
c\frac{\partial q}{\partial z}.
\]
Для описания свободного распространения введём дополнительный локальный закон модели: временное изменение величины \(q\) определяется пространственным изменением \(p\) с той же скоростью \(c\):
\[\tag{A3}
\frac{\partial p}{\partial t}
=
c\frac{\partial q}{\partial z},
\qquad
\frac{\partial q}{\partial t}
=
c\frac{\partial p}{\partial z}.
\]
Система (A3) обладает локальным законом сохранения:
\[
\frac{\partial}{\partial t}
\left(
\frac{p^2+q^2}{2}
\right)
+
\frac{\partial}{\partial z}
\left(
-cpq
\right)
=0.
\]
Следовательно, величина \((p^2+q^2)/2\) не создаётся и не исчезает между соседними точками, а её изменение внутри участка определяется потоком \(-cpq\) через границы.
Система естественно раскладывается на две противоположно распространяющиеся фазовые компоненты:
\[
u_+=p+q,
\qquad
u_-=p-q,
\]
\[
\frac{\partial u_+}{\partial t}
=
c\frac{\partial u_+}{\partial z},
\qquad
\frac{\partial u_-}{\partial t}
=
-c\frac{\partial u_-}{\partial z}.
\]
Это показывает, что система (A3) описывает две волновые ветви, распространяющиеся в противоположных направлениях со скоростью \(c\).
Подстановка определений (A2) во второе уравнение системы (A3) даёт
\[\tag{A4}
\frac{1}{c}
\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}
=
c\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2},
\qquad
\boxed{
\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}
-
c^2\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}
=0
}.
\]
Таким образом, волновое уравнение не вводится отдельно: оно является следствием фазового представления и локальной системы передачи (A3). Однако второе уравнение этой системы пока остаётся дополнительным динамическим законом. Для полного геометрического вывода необходимо показать, почему двухветвевая структура \(J\) приводит именно к симметричной передаче изменений со скоростями \(+c\) и \(-c\).