2025-09-21
Поглощение и перенос гиперболической единицы некоторыми формулами
Гиперболическая единица, подобно мнимой, обладает своими особенностями и правилами обращения.
Если мнимая единица знакома каждому по формуле Эйлера и свойствам тригонометрических функций, то гиперболическая пока остаётся менее изученной в этом контексте.
Однако при внимательном рассмотрении оказывается, что она может естественным образом включаться в привычные формулы, изменяя их вид, но сохраняя внутреннюю гармонию.
В этой работе мы посмотрим, как именно гиперболическая единица поглощается или выносится за пределы некоторых разложений и функций, и чем это похоже на поведение мнимой единицы.
Такой подход позволяет наглядно увидеть скрытую связь между тригонометрическими и гиперболическими выражениями и расширить понимание классических формул.
Расширение формулы Эйлера гиперболической единицей
Введём следующую гиперкомплексную единицу
\[\tag{1} \ii = \i \cdot i \]
где: \(i\) — мнимая единица, квадрат которой равен минс один [1],
\(\i\) — гиперболическая единица, квадрат которой равен плюс один.
Тогда можно найти степени такой единицы, согласно по правил гиперболических и мнимых чисел:
\[\tag{2} \ii^2 = -1, \quad \ii^3 = -\ii, \quad \ii^4 = 1 \]
Эти значения полностью соответствуют подобным операциям с мнимой единицей [1]:
\[\tag{3} i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1 \]
Тогда, при разложении экспоненты в ряд Маклорена [2], при подстановке \(\ii\), мы получим те же значения членов ряда, что и при подстановке \(i\).
Следовательно, можно расширить формулу Эйлера [3] гиперболической единицей таким образом:
\[\tag{4} \exp(\ii \a) = \cos\a + \ii \sin\a, \quad \ii = \i \cdot i \]
Это наглядный пример поглощения гиперболической единицы мнимой единицей.
Но она поглощается \(i\) не всегда, а только, когда ряд раскладывается по степеням с целыми числами.
Если степени такого ряда представляют собой дробные числа, то происходит обратный процесс — поглощается мнимая единица.
Примеры таких рядов приведены здесь,
но о них мы поговорим в другой раз, так как сейчас рассматриваются только скалярные функции.
Давайте теперь посмотрим, как будет выглядеть формула Эйлера, если в её показателе оставить только гиперболическую единицу.
Для этого напомним разложения в ряд Маклорена гиберболического косинуса и синуса [4]:
\[\tag{5} \ch x = \sumn0 {x^{2n} \over (2n)!} \\
\sh x = \sumn0 {x^{2n+1} \over (2n+1)!} \]
и подставим в них
\[ x = \ik\a \]
где: \(\i\) — гиперболическая единица, квадрат которой равен плюс один.
Учитывая правила работы с такими единицами
\[\tag{6} \i^n = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{if} & n = 0,2,4,\ldots \\
\i & \text{if} & n = 1,3,5,\ldots
\end{matrix}\right.\]
из рядов (5) мы получим формулы поглощения и переноса гиперболической единицы гиперболическим косинусом и синусом:
\[\tag{7} \ch\!(\ik\a) = \ch \a \\
\sh\!(\ik\a) = \ik\sh\a \]
Остаётся напомнить [4], что
\[\tag{8} \exp x = \ch x + \sh x \]
откуда мы получаем формулу Эйлера с гиперболической единицей:
\[\tag{9} \exp(\ik\a) = \ch\a + \ik\sh\a, \quad \i^2 = +1 \]
Применяя данный алгоритм поступим таким же образом с другими функциями.
Поглощение и перенос гиперболической единицы некоторыми функциями
Начнём с функций косинуса и синуса.
Их разложение в ряд Маклорена следующее [2]:
\[\tag{10} \cos x = \sumn0 (-1)^n {x^{2n} \over (2n)!} \\
\sin x = \sumn0 (-1)^n {x^{2n+1} \over (2n+1)!} \]
Подставляя в них
\[ x = \ik\a \]
и пользуясь правилом (6), мы получим формулы поглощения и переноса гиперболической единицы тригонометрическим косинусом и синусом:
\[\tag{11} \cos(\ik\a) = \cos \a \\
\sin(\ik\a) = \ik\sin\a \]
Сравните эти выражения с формулами (7).
Таким же образом можно получить поглощение и перенос гиперболической единицы некоторыми другими функциями:
\[\tag{12} \tan(\ik\a) = \i\tan\a \\
\th\!(\ik\a) = \i\,\th\a \\
\ln(1 + \ik\a) = \i\ln(1 + \a) \]
Общая закономерность очевидна:
если при разложении функции в ряд Маклорена все степени при \(x\) чётные, то гиперболическая единица поглощается этой формулой,
если только нечётные — то выносится за формулу, домножаясь на неё.