2026-11-01
Радиус-вектор в сплит-геометрии. Сферическая и цилиндрическая формы
Двухфазное представление трёхмерных координат
Чтобы указать положение точки в пространстве, можно назвать три её координаты. Но нередко удобнее сообщить расстояние до точки и два угла: насколько направление отклонено от вертикали и куда оно обращено по горизонтали. Так устроены сферические координаты. В этой статье мы объединим два угла в одном операторе на идемпотентном базисе и получим компактную запись радиус-вектора. Затем покажем, как переходить от неё к сферическим, цилиндрическим и декартовым координатам, восстанавливать исходные параметры и вычислять расстояния.
Построение продолжает работы «От формулы Эйлера к сплит-геометрии» и «Сплит-синус и сплит-косинус двухфазной геометрии». Здесь рассматривается чисто математическая задача: оба фазовых параметра независимы и не связаны с физическими величинами.
1. Две фазы в одной записи
Используем два взаимно дополнительных идемпотента:
\[\tag{1}
\ep^2=\ep,\qquad \em^2=\em,\qquad
\ep\em=0,\qquad \ep+\em=1.
\]
Гиперболическая единица и оператор двух независимых фаз имеют вид
\[\tag{2}
\j=\ep-\em,\qquad \j^2=1,
\]
\[\tag{3}
J(a,b)=\j^a(-\j)^b
=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}.
\]
В формуле (3) используются главные значения степеней, для которых фаза отрицательной единицы равна \( \pi \). Чтобы не повторять множитель \( \pi \) в геометрических формулах, введём углы в радианах:
\[\tag{4}
\tilde a=\pi a,\qquad \tilde b=\pi b.
\]
Тогда фазовая запись принимает форму
\[\tag{5}
J(a,b)=\ep e^{i\tilde b}+\em e^{i\tilde a}.
\]
Два угла хранятся в разных идемпотентных компонентах. Добавим неотрицательный радиальный масштаб:
\[\tag{6}
\boxed{Q=r J(a,b),\qquad r\ge0.}
\]
Для покрытия всех пространственных направлений выберем диапазоны
\[\tag{7}
0\le\tilde a\le\pi,\qquad 0\le\tilde b<2\pi,
\qquad\text{то есть}\qquad
0\le a\le1,\quad 0\le b<2.
\]
Выражение \( Q \) является алгебраической записью параметров. Чтобы оно представляло точку трёхмерного пространства, нужно задать правило перехода к пространственным координатам. Ниже таким правилом служит сферическое отображение. Ортогональность идемпотентных компонент сама по себе ещё не определяет это отображение.
2. Сферическая форма
Пусть \( \tilde a \) — полярный угол, отсчитываемый от положительной оси \( z \), а \( \tilde b \) — азимут, отсчитываемый в плоскости \( xy \) от положительной оси \( x \) к положительной оси \( y \). Сферические координаты точки непосредственно читаются из параметров:
\[\tag{8}
(r,\theta,\varphi)=(r,\tilde a,\tilde b).
\]
Рассмотрим сначала единичную сферу. Высота точки равна \( \cos\tilde a \), а радиус горизонтального сечения — \( \sin\tilde a \). Азимут распределяет этот горизонтальный радиус между осями \( x \) и \( y \). Умножая на \( r \), получаем пространственное отображение:
\[\tag{9}
\boxed{
\mathcal P[rJ(a,b)]=\mathbf r
=r\begin{pmatrix}
\sin\tilde a\cos\tilde b\\
\sin\tilde a\sin\tilde b\\
\cos\tilde a
\end{pmatrix}.
}
\]
Таким образом, декартовы координаты равны
\[\tag{10}
x=r\sin\tilde a\cos\tilde b,\qquad
y=r\sin\tilde a\sin\tilde b,\qquad
z=r\cos\tilde a.
\]
Проверим длину радиус-вектора. Сначала складываем квадраты горизонтальных координат, затем добавляем квадрат высоты:
\[\tag{11}
x^2+y^2
=r^2\sin^2\tilde a
\bigl(\cos^2\tilde b+\sin^2\tilde b\bigr)
=r^2\sin^2\tilde a,
\]
\[\tag{12}
x^2+y^2+z^2
=r^2\bigl(\sin^2\tilde a+\cos^2\tilde a\bigr)=r^2.
\]
Следовательно, параметр \( r \) действительно равен евклидовой длине пространственного радиус-вектора. Формула (9) определяет её через отображение \( \mathcal P \); приписывать эту длину произвольной алгебраической норме \( Q \) не требуется.
3. Цилиндрическая форма
В цилиндрических координатах положение точки задают расстояние \( \rho \) до оси \( z \), азимут \( \varphi \) и высота \( z \). Из той же геометрии горизонтального сечения следует
\[\tag{13}
\boxed{
\rho=r\sin\tilde a,\qquad
\varphi=\tilde b,\qquad
z=r\cos\tilde a.
}
\]
После этого горизонтальные координаты вычисляются как координаты точки на окружности радиуса \( \rho \):
\[\tag{14}
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi.
\]
Их можно объединить обычной комплексной экспонентой:
\[\tag{15}
x+iy=\rho e^{i\varphi}
=r\sin\tilde a\,e^{i\tilde b}.
\]
Длина пространственного радиус-вектора определяется по теореме Пифагора:
\[\tag{16}
r^2=\rho^2+z^2.
\]
Фаза \( \tilde b \) определяет положение на горизонтальной окружности, а фаза \( \tilde a \) — её радиус и высоту. Сферическая и цилиндрическая формы описывают одну точку и различаются только выбором промежуточных координат.
4. Связь со сплит-синусом и сплит-косинусом
В двухфазной геометрии действительная и мнимая части оператора объединяются в сплит-косинус и сплит-синус:
\[\tag{17}
\Cos(a,b)=\ep\cos\tilde b+\em\cos\tilde a,
\]
\[\tag{18}
\Sin(a,b)=\ep\sin\tilde b+\em\sin\tilde a,
\]
\[\tag{19}
J(a,b)=\Cos(a,b)+i\Sin(a,b).
\]
В компоненте \( \ep \) находятся азимутальные проекции \( \cos\tilde b \) и \( \sin\tilde b \). В компоненте \( \em \) находятся \( \cos\tilde a \) и \( \sin\tilde a \), задающие высоту и радиус горизонтального сечения в долях полной длины. Поэтому все угловые данные для формул (10) и (13) уже содержатся в сплит-функциях.
Например, для вычисления \( x \) берём числовой коэффициент \( \sin\tilde a \) из компоненты \( \em \) сплит-синуса и коэффициент \( \cos\tilde b \) из компоненты \( \ep \) сплит-косинуса. Их обычное числовое произведение умножаем на \( r \). Аналогично получаем \( y \), а для \( z \) достаточно коэффициента \( \cos\tilde a \).
Извлечение числовых коэффициентов существенно: прямое умножение идемпотентных компонент не создаёт смешанных произведений, поскольку \( \ep\em=0 \). Сферическое отображение связывает две фазы отдельным геометрическим правилом.
Сплит-косинус разности фаз двух операторов можно вычислить непосредственно через сами операторы. Пусть \( J_1=J(a_1,b_1) \), \( J_2=J(a_2,b_2) \), а черта означает комплексное сопряжение по \( i \), сохраняющее идемпотенты. Поскольку \( J\overline J=1 \), сопряжённый оператор совпадает с обратным. По закону композиции получаем
\[\tag{20}
J_1\overline{J_2}
=J(a_1-a_2,b_1-b_2)
=\ep e^{i(\tilde b_1-\tilde b_2)}
+\em e^{i(\tilde a_1-\tilde a_2)}.
\]
Сопряжённое произведение имеет противоположные фазы:
\[\tag{21}
\overline{J_1}J_2
=J(a_2-a_1,b_2-b_1)
=\ep e^{-i(\tilde b_1-\tilde b_2)}
+\em e^{-i(\tilde a_1-\tilde a_2)}.
\]
Складываем выражения (20), (21) и делим на два. В каждой компоненте мнимые части сокращаются, а полусумма экспонент даёт обычный косинус:
\[\tag{22}
\frac{J_1\overline{J_2}+\overline{J_1}J_2}{2}
=\ep\cos(\tilde b_1-\tilde b_2)
+\em\cos(\tilde a_1-\tilde a_2).
\]
Правая часть совпадает с определением сплит-косинуса разности фаз. Следовательно,
\[\tag{23}
\boxed{
\Cos(a_1-a_2,b_1-b_2)
=\frac{J_1\overline{J_2}+\overline{J_1}J_2}{2}.
}
\]
Формула (23) позволяет найти сплит-косинус через умножение, сопряжение и сложение операторов, без отдельного восстановления углов. Результат сохраняет два косинуса фазовых разностей — по одному в каждой идемпотентной компоненте. Обычный косинус пространственного угла между радиус-векторами является скалярной величиной; для выбранного сферического отображения он вычисляется по формуле (28).
5. Обратное преобразование
Пусть известны декартовы координаты точки. Сначала находим полную длину радиус-вектора и расстояние до оси \( z \):
\[\tag{24}
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\qquad
\rho=\sqrt{x^2+y^2}.
\]
При \( r>0 \) углы восстанавливаются следующим образом:
\[\tag{25}
\tilde a=\operatorname{atan2}(\rho,z),\qquad
\tilde b=\operatorname{atan2}(y,x)\pmod{2\pi}.
\]
Функция \( \operatorname{atan2}(u,v) \) учитывает знаки обеих координат: она возвращает аргумент числа \( v+iu \). Для азимута выбираем представителя в интервале \( [0,2\pi) \). Исходные параметры оператора равны
\[\tag{26}
a=\frac{\tilde a}{\pi},\qquad b=\frac{\tilde b}{\pi}.
\]
Если известны цилиндрические координаты, формулы ещё проще:
\[\tag{27}
r=\sqrt{\rho^2+z^2},\qquad
\tilde a=\operatorname{atan2}(\rho,z),\qquad
\tilde b=\varphi\pmod{2\pi}.
\]
На положительной полуоси \( z \) полярный угол равен нулю, на отрицательной — \( \pi \); азимут в обоих случаях произволен. В начале координат произвольны оба угла, поскольку \( Q=0 \) при любом \( J \). Поэтому соответствие становится однозначным лишь после выбора соглашений для этих особых случаев.
6. Угол, скалярное произведение и расстояние
Рассмотрим две записи \( Q_1=r_1J(a_1,b_1) \) и \( Q_2=r_2J(a_2,b_2) \). Для ненулевых радиус-векторов угол \( \gamma \) между их пространственными направлениями определяется формулой
\[\tag{28}
\cos\gamma
=\cos\tilde a_1\cos\tilde a_2
+\sin\tilde a_1\sin\tilde a_2
\cos(\tilde b_1-\tilde b_2).
\]
Она получается подстановкой координат (10) в обычное скалярное произведение. Далее
\[\tag{29}
\mathbf r_1\cdot\mathbf r_2=r_1r_2\cos\gamma,
\]
\[\tag{30}
d=\lvert\mathbf r_1-\mathbf r_2\rvert
=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\gamma}.
\]
На сфере радиуса \( r \) расстояние по прямой и длина кратчайшей дуги различаются:
\[\tag{31}
d=2r\sin\frac{\gamma}{2},\qquad
\ell=r\gamma,\qquad 0\le\gamma\le\pi.
\]
Таким образом, для этих вычислений не обязательно предварительно выписывать все декартовы координаты. Достаточно радиусов и фазовых параметров. Если один из векторов нулевой, угол не определён, но скалярное произведение равно нулю, а расстояние равно длине второго вектора.
7. Численный пример
Возьмём радиус и углы
\[\tag{32}
r=2,\qquad a=\frac13,\qquad b=\frac14,
\qquad
\tilde a=\frac{\pi}{3},\quad
\tilde b=\frac{\pi}{4}.
\]
Компактная запись точки:
\[\tag{33}
Q=2J\!\left(\frac13,\frac14\right)
=2\left(\ep e^{i\pi/4}+\em e^{i\pi/3}\right).
\]
В цилиндрической форме получаем
\[\tag{34}
\rho=\sqrt3,\qquad \varphi=\frac{\pi}{4},\qquad z=1.
\]
В декартовых координатах та же точка имеет вид
\[\tag{35}
(x,y,z)=\left(\frac{\sqrt6}{2},\frac{\sqrt6}{2},1\right),
\qquad x^2+y^2+z^2=\frac32+\frac32+1=4.
\]
Обратное преобразование даёт
\[\tag{36} r=2, \quad \tilde a=\operatorname{atan2}(\sqrt3,1)=\pi/3, \quad \tilde b=\operatorname{atan2}(\sqrt6/2,\sqrt6/2)=\pi/4.\]
Мы возвращаемся к исходным параметрам \( a=1/3 \), \( b=1/4 \).
8. Что даёт такое представление
Запись \( Q=rJ(a,b) \) объединяет радиальный масштаб и две независимые фазы. Её пространственный смысл задаётся формулой (9). Привычная сферическая геометрия сохраняется, а идемпотентный базис позволяет хранить обе фазы в одном алгебраическом объекте и работать с их проекциями через сплит-синус и сплит-косинус.
При этом алгебраические операции над \( Q \) следует отличать от операций над пространственными векторами. Например, произведение \( J(a_1,b_1)J(a_2,b_2)=J(a_1+a_2,b_1+b_2) \) складывает фазы. Оно само по себе не является скалярным или векторным произведением и не задаёт общий закон композиции трёхмерных вращений. Для суммы пространственных векторов можно перейти к декартовым координатам, сложить их и восстановить параметры по формулам (24)–(26).
Итак, получено альтернативное двухфазное представление радиус-вектора с явными переходами к стандартным координатным системам. Его основа — компактная запись \( rJ \), сферическое отображение и обычные евклидовы правила вычислений.