2026-07-30
Дифракция частиц на щели как проявление пространственной фазы оператора J
Часть 1. Прохождение через одну щель
Частица проходит через установку по одному событию и оставляет на экране одну локальную точку.
Но после множества таких событий точки выстраиваются в протяжённую дифракционную картину [1].
Откуда неделимый объект получает информацию о всей ширине щели и почему при увеличении скорости массивной частицы эта картина сужается?
Классическая квантовая механика отвечает на этот вопрос с помощью волновой функции и длины волны де Бройля.
В настоящей работе ставится более узкая, но принципиальная задача: проверить, может ли тот же пространственный масштаб появиться непосредственно из геометрии оператора состояния
\[
\tag{1}
J(a,b)=\j^a(-\j)^b,
\]
исключительно из геометрических соображений.
Сначала будет получена пространственная фаза движущегося оператора, затем — дифракционное распределение для одной щели, и только после этого результат будет сопоставлен со стандартной длиной волны и реальными экспериментами.
Введение.
Почему решение должно быть получено исключительно из геометрии
Почему решение должно быть получено исключительно из геометрии
Для новой модели совпадение с известной формулой само по себе ещё ничего не доказывает. Если в начале рассуждения принять длину волны де Бройля
\[
\tag{2}
\lambda_{\mathrm{dB}}=\frac{h}{p},
\]
а затем лишь переписать её в обозначениях \(J\), \(a\) и \(b\), то геометрическая конструкция не объяснит дифракцию. Она только даст другое название уже известному результату. Такое совпадение будет следствием заранее подставленной физики, а не самостоятельным следствием модели.
Поэтому здесь выбран обратный путь. Исходными считаются только два геометрических движения оператора, его единичная норма, связь внешнего показателя \(b\) со скоростью и релятивистская геометрия пространства-времени. Из этих положений необходимо получить величину, обладающую всеми свойствами наблюдаемой длины волны: она должна задавать разность фаз между путями, уменьшаться при росте скорости массивной частицы и определять положение минимумов на экране.
Именно в этом состоит интерес задачи. Если величина \(h/p\) появится в конце, хотя в начале она не использовалась, то геометрия не просто повторит известную формулу. Она покажет, какое внутреннее движение частицы превращается в измеряемый пространственный период. Тогда длина волны станет не отдельным постулатом, а геометрическим следствием переноса внутренней периодичности движущегося объекта между различными точками пространства.
Однако необходимо сразу обозначить границу такого вывода. Геометрия может дать фазу и закон её сложения, но переход от результирующей амплитуды к числу зарегистрированных событий требует правила
\[
\tag{3}
P\propto |\mathcal A|^2.
\]
В настоящей статье это правило принимается как закон регистрации.
В дальнейшем оно должно быть связано с геометрией взаимодействия частицы и детектора.
Такое разделение важно: пространственный период будет выведен из модели, тогда как квадратичное правило вероятности пока остаётся дополнительным физическим условием.
1. Два движения внутри одного оператора
В основе модели находятся два взаимно дополнительных идемпотента
\[
\tag{4}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Каждый идемпотент выделяет собственную комплексную плоскость:
\[
\tag{5}
\left\{\ep,i\ep\right\},
\qquad
\left\{\em,i\em\right\}.
\]
Гиперболическая единица и противоположная ей единица имеют разложения
\[
\tag{6}
\j=\ep-\em,
\qquad
-\j=-\ep+\em.
\]
Их непрерывные степени действуют как два независимых селективных поворота:
\[
\tag{7}
\j^a=\ep+\em e^{i\pi a},
\qquad
(-\j)^b=\ep e^{i\pi b}+\em.
\]
Перемножение этих операторов особенно просто вследствие ортогональности \(\ep\em=0\):
\[
\tag{8}
\boxed{
J(a,b)
=
\j^a(-\j)^b
=
\ep e^{i\pi b}
+
\em e^{i\pi a}
}.
\]
Показатель \(b\) управляет фазой плоскости \((\ep,i\ep)\) и описывает внешнее движение. Показатель \(a\) управляет фазой плоскости \((\em,i\em)\) и описывает внутреннее периодическое состояние. Эти составляющие независимы, но принадлежат одному целому оператору.
Сопряжение меняет знаки обеих фаз. Поэтому норма полного состояния остаётся единичной:
\[
\tag{9}
\begin{aligned}
J\overline J
&=
\left(
\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}
\right)
\left(
\ep e^{-i\pi b}+\em e^{-i\pi a}
\right)
\\[1mm]
&=
\ep+\em
=1.
\end{aligned}
\]
Таким образом, внешнее воздействие может изменять распределение фаз между двумя плоскостями, но не должно разрушать целостность состояния. Отдельная зарегистрированная частица всегда соответствует целому \(J\), а не одной из его частей.
2. Внешняя скорость и геометрический показатель b
Внешнее движение зададим безразмерной скоростью
\[
\tag{10}
\beta=\frac{v}{c},
\qquad
|\beta| < 1
\]
для массивной частицы. По определению модели показатель \(b\) связан со скоростью соотношением
\[
\tag{11}
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi}.
\]
Следовательно, две ортогональные проекции внешнего состояния равны
\[
\tag{12}
\sin(\pi b)=\beta,
\qquad
\cos(\pi b)=\sqrt{1-\beta^2}=\frac{1}{\gamma},
\]
где
\[
\tag{13}
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\]
— внешний Лоренц-фактор частицы. Формула (12) показывает, что \(\beta\) и \(1/\gamma\) не являются двумя независимыми поправками. Они представляют синусную и косинусную проекции одного угла \(\pi b\):
\[
\tag{14}
\boxed{
\beta^2+\frac{1}{\gamma^2}=1
}.
\]
Именно поэтому нельзя отдельно «добавить» в дифракционный результат множитель \(1/\gamma\), не выяснив сначала, какую пространственно-временную фазу сравнивает эксперимент. Правильное сочетание \(\beta\) и \(\gamma\) должно возникнуть из геометрии сравнения двух событий.
3. Внутренняя периодичность и собственная фаза
В системе покоя массивной частицы внешнее направление не выделено, но внутренний процесс продолжает изменяться. Его показатель запишем через собственное время \(\tau\):
\[
\tag{15}
a=\varpi_0\tau,
\qquad
\omega_0=\pi\varpi_0.
\]
Тогда внутренняя компонента оператора имеет вид
\[
\tag{16}
J_{\mathrm{int}}(\tau)
=
\em e^{i\pi a}
=
\em e^{i\omega_0\tau}.
\]
Величина \(\omega_0\) здесь является собственной угловой частотой устойчивого состояния. Для электрона в ранее рассмотренном массовом отображении она соответствует комптоновской угловой частоте покоя. На данном этапе её связь с массой не используется: для геометрического вывода достаточно существования внутреннего периода.
Полный поворот внутренней фазы происходит при изменении
\[
\tag{17}
\Delta\phi_0
=
\omega_0\Delta\tau
=
2\pi.
\]
Соответствующий временной период в системе покоя равен
\[
\tag{18}
T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}
=
\frac{2}{\varpi_0}.
\]
Пока это только период во времени. Чтобы получить дифракцию, необходимо понять, каким образом одна и та же внутренняя фаза сравнивается в различных точках лабораторного пространства.
4. Почему подстановка t = l/v даёт неполный результат
На первый взгляд можно заменить время движения временем прохождения пути \(\ell\):
\[
\tag{19}
t=\frac{\ell}{v}.
\]
Тогда фаза вдоль одного пути формально принимает вид
\[
\tag{20}
\phi_{\mathrm{path}}
=
\omega_0t
=
\frac{\omega_0}{v}\ell,
\]
а соответствующий пространственный период получается равным
\[
\tag{21}
\lambda_{\mathrm{path}}
=
\frac{2\pi v}{\omega_0}.
\]
Но такая операция отвечает на другой вопрос: сколько внутренней фазы накопит частица, двигаясь вдоль одного заранее выбранного пути. Дифракционный эксперимент сравнивает не последовательные точки одной траектории, а фазы нескольких допустимых путей, приходящих к одному фронту наблюдения.
Для наблюдения полос необходимо сравнить состояния в одном и том же лабораторном времени \(t\), но при различных пространственных координатах или различных длинах пути. Поэтому временная часть общей фазы должна быть одинаковой и сократиться, а пространственная часть — остаться. Простая подстановка (19) не выполняет такого сравнения и по этой причине теряет требуемое сочетание \(\gamma\beta\).
Иными словами, выражение (21) описывает фазу вдоль движения, но не волновой фронт поперёк семейства возможных движений. Для дифракции необходима полная пространственно-временная геометрия фазы.
5. Пространственная фаза движущегося оператора
Чтобы продолжить собственную фазу с мировой линии частицы на лабораторное пространство-время, обозначим через \(\tau(t,x)\) временную координату системы покоя частицы. На самой мировой линии эта координата совпадает с собственным временем. Для произвольного лабораторного события она связана с \(t\) и \(x\) преобразованием
\[
\tag{22}
\boxed{
\tau
=
\gamma
\left(
t-\frac{vx}{c^2}
\right)
}.
\]
Это выражение важно не только как формула специальной теории относительности. Оно показывает геометрический наклон плоскостей одновременности: события, одновременные в лабораторной системе, имеют различные значения временной координаты системы покоя. Именно эта разность превращает исходную временную периодичность в пространственную фазу. Здесь \(\tau(t,x)\) не означает собственное время нескольких одновременно движущихся частиц; это единое фазовое продолжение внутреннего процесса на разные события пространства-времени.
Подставим (22) в собственную фазу \(\phi_0=\omega_0\tau\):
\[
\tag{23}
\begin{aligned}
\phi(t,x)
&=
\omega_0\gamma
\left(
t-\frac{vx}{c^2}
\right)
\\[1mm]
&=
\omega_0\gamma t
-
\omega_0\gamma\frac{v}{c^2}x.
\end{aligned}
\]
Теперь в фазе естественно выделяются две части:
\[
\tag{24}
\phi(t,x)
=
\Omega t-k_Jx,
\]
где
\[
\tag{25}
\Omega=\gamma\omega_0,
\qquad
k_J=\frac{\omega_0}{c}\gamma\beta.
\]
Первая величина задаёт частоту изменения фазы при фиксированной лабораторной координате. Вторая задаёт изменение той же фазы при переходе между различными точками в один момент лабораторного времени.
Пусть два допустимых пути отличаются длиной на \(\Delta\ell\), а их фазы сравниваются при одном \(t\). Временные члены в формуле (23) одинаковы и сокращаются:
\[
\tag{26}
\boxed{
\Delta\phi
=
-k_J\Delta\ell
=
-\frac{\omega_0}{c}
\gamma\beta\,\Delta\ell
}.
\]
Именно формула (26), а не подстановка \(t=\ell/v\), определяет пространственную разность фаз, от которой зависит дифракционная картина.
6. Геометрический пространственный период
Определим пространственный период \(\lambda_J\) как изменение длины пути, создающее полный фазовый оборот:
\[
\tag{27}
|\,\Delta\phi\,|
=
\frac{2\pi}{\lambda_J}\Delta\ell.
\]
Сравнение формул (26) и (27) даёт
\[
\tag{28}
\boxed{
\lambda_J
=
\frac{2\pi c}{\omega_0\gamma\beta}
}.
\]
Введём собственный пространственный масштаб внутреннего периода
\[
\tag{29}
\lambda_0
=
cT_0
=
\frac{2\pi c}{\omega_0}
=
\frac{2c}{\varpi_0}.
\]
Тогда центральный результат геометрического вывода принимает компактный вид:
\[
\tag{30}
\boxed{
\lambda_J(\beta)
=
\frac{\lambda_0}{\gamma\beta}
=
\lambda_0
\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta}
}.
\]
Полученная величина обладает требуемыми свойствами. При увеличении скорости множитель \(\gamma\beta\) растёт, поэтому пространственный период уменьшается. При малых скоростях \(\gamma\approx1\), и период приблизительно обратно пропорционален скорости. В релятивистской области появляется дополнительное сокращение масштаба, связанное с геометрией времени.
Важно, что формулы (22)–(30) не использовали ни импульс, ни постоянную Планка, ни соотношение де Бройля. Пространственный период возник как преобразованная собственная периодичность внутренней компоненты \(J\).
7. Тот же результат непосредственно через показатель b
Связь с оператором состояния становится особенно наглядной, если исключить \(\beta\) и \(\gamma\) в пользу геометрического угла \(\pi b\). Из формулы (12) следует
\[
\tag{31}
\gamma\beta
=
\frac{\sin(\pi b)}{\cos(\pi b)}
=
\tan(\pi b).
\]
Поэтому пространственный период равен
\[
\tag{32}
\boxed{
\lambda_J(b)
=
\frac{\lambda_0}{\tan(\pi b)}
=
\lambda_0\cot(\pi b)
}.
\]
В этой записи весь внешний кинематический масштаб дифракции определяется одним показателем оператора \((-\j)^b\). Последовательность причинных связей внутри модели можно представить так:
\[
\tag{33}
\boxed{
b
\ \longrightarrow\
\tan(\pi b)=\gamma\beta
\ \longrightarrow\
\lambda_J=\lambda_0\cot(\pi b)
\ \longrightarrow\
\text{масштаб дифракционной картины}
}.
\]
При \(b\to0\) частица приближается к состоянию покоя, \(\tan(\pi b)\to0\), а пространственный период стремится к бесконечности. Это не означает бесконечной физической протяжённости покоящейся частицы. Это означает отсутствие конечной пространственной частоты поступательного движения: при \(v=0\) внутренний процесс изменяется во времени, но не формирует бегущую пространственную фазу вдоль лабораторной оси.
При \(b\to1/2\), что соответствует \(\beta\to1\), множитель \(\tan(\pi b)\) неограниченно возрастает, а \(\lambda_J\) массивной ветви стремится к нулю. Этот предел нельзя непосредственно отождествлять с фотоном: у безмассового состояния нет системы покоя и собственной частоты \(\omega_0\), из которой была получена формула (28).
8. Что геометрически означает щель
Физическую плоскость щели не следует отождествлять с идемпотентной плоскостью \((\em,i\em)\). Щель является внешней границей установки и ограничивает множество допустимых продолжений движения в обычном пространстве.
Пусть \(\xi\) обозначает координату точки внутри отверстия. Каждая такая точка задаёт допустимое одномерное продолжение
\[
\tag{34}
\ell_\xi:
\qquad
\text{источник}
\longrightarrow
\xi
\longrightarrow
\text{точка экрана}.
\]
В каждом отдельном событии движение частицы остаётся одномерным: существует один источник, одна точка прохождения и одна точка регистрации. Но для вычисления распределения рассматривается семейство всех геометрически допустимых продолжений \(\ell_\xi\).
Состояние, сопоставленное одному такому продолжению, можно записать в форме
\[
\tag{35}
J_\xi
=
\ep e^{i\pi b_\xi}
+
\em e^{i\phi_\xi},
\qquad
|J_\xi|=1.
\]
Внешняя компонента определяет допустимость пути, его направление и скорость. Различие длин допустимых путей преобразуется во внутреннюю разность фаз \(\phi_\xi\). Поэтому действие щели можно кратко выразить следующим правилом:
\[
\tag{36}
\boxed{
\text{щель ограничивает продолжения в }\ep,
\qquad
\text{разность их длин проявляется фазами в }\em
}.
\]
Щель при этом не делит реальную частицу на части. Она создаёт геометрическое множество альтернатив, по которому рассчитывается распределение возможных регистраций целого оператора \(J\).
9. Разность путей в дальней зоне
Рассмотрим равномерно открытую щель шириной \(d\):
\[
\tag{37}
-\frac d2
\leq
\xi
\leq
\frac d2.
\]
Экран находится достаточно далеко, чтобы лучи от различных точек щели к выбранной точке наблюдения можно было считать почти параллельными. Это приближение дальней зоны, или приближение Фраунгофера.
Если направление наблюдения составляет угол \(\theta\) с нормалью к щели, то путь от точки \(\xi\) отличается от центрального пути приблизительно на
\[
\tag{38}
\Delta\ell_\xi
\simeq
\xi\sin\theta.
\]
Согласно формуле (26), соответствующая разность внутренней фазы равна
\[
\tag{39}
\Delta\phi_\xi
=
-\frac{2\pi}{\lambda_J}
\xi\sin\theta.
\]
Знак определяет направление отсчёта фазы, но не влияет на итоговую вероятность, поскольку далее берётся квадрат модуля результирующей амплитуды.
10. Сложение фаз по ширине щели
Для однородно освещённой щели все малые участки отверстия считаются равноправными. Фазочувствительная сумма допустимых продолжений записывается интегралом
\[
\tag{40}
\mathcal A_J(\theta)
=
\int_{-d/2}^{d/2}
\em
\exp
\left(
-i\frac{2\pi}{\lambda_J}
\xi\sin\theta
\right)
d\xi.
\]
Идемпотент \(\em\) показывает, что складываются внутренние фазы альтернатив. Он постоянен относительно \(\xi\), поэтому выносится за знак интеграла:
\[
\tag{41}
\mathcal A_J(\theta)
=
\em
\int_{-d/2}^{d/2}
e^{-iq\xi}\,d\xi,
\qquad
q=\frac{2\pi}{\lambda_J}\sin\theta.
\]
Интегрирование даёт
\[
\tag{42}
\begin{aligned}
\mathcal A_J(\theta)
&=
\em
\left[
\frac{e^{-iq\xi}}{-iq}
\right]_{-d/2}^{d/2}
\\[1mm]
&=
\em
\frac{2\sin(qd/2)}{q}.
\end{aligned}
\]
После нормировки на амплитуду в центре, где \(\theta=0\), получаем
\[
\tag{43}
\boxed{
\frac{\mathcal A_J(\theta)}{\mathcal A_J(0)}
=
\frac{
\sin
\left(
\dfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda_J}
\right)
}{
\dfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda_J}
}
}.
\]
Таким образом, известная функция \(\operatorname{sinc}\) возникает не из заранее принятой волны де Бройля, а из непрерывного сложения геометрически полученных фаз по ширине отверстия.
11. Распределение регистраций
Теперь применяется принятое в формуле (3) квадратичное правило регистрации. После нормировки распределение имеет вид
\[
\tag{44}
\boxed{
\frac{P(\theta)}{P(0)}
=
\left[
\frac{
\sin
\left(
\dfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda_J}
\right)
}{
\dfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda_J}
}
\right]^2
}.
\]
Минимумы возникают, когда числитель обращается в ноль, а знаменатель остаётся конечным:
\[
\tag{45}
\frac{\pi d\sin\theta_n}{\lambda_J}
=
\pi n,
\qquad
n=\pm1,\pm2,\ldots
\]
Следовательно, положения минимумов равны
\[
\tag{46}
\boxed{
d\sin\theta_n
=
n\lambda_J
=
n\frac{\lambda_0}{\gamma\beta}
=
n\lambda_0\cot(\pi b)
}.
\]
Формула (46) непосредственно связывает наблюдаемую угловую картину с показателем внешнего движения \(b\). Центральный максимум расположен при \(\theta=0\), где фазы всех допустимых продолжений совпадают.
12. Как скорость изменяет ширину картины
Пусть экран расположен на расстоянии \(L\) от щели. При малых углах
\[
\tag{47}
\sin\theta\simeq\theta\simeq\frac{y}{L}.
\]
Расстояние от центра до первого минимума равно
\[
\tag{48}
y_1
\simeq
\frac{L\lambda_J}{d}
=
\frac{L\lambda_0}{d\gamma\beta}.
\]
Полная ширина центрального максимума между минимумами \(n=-1\) и \(n=+1\) составляет
\[
\tag{49}
\boxed{
\Delta y
\simeq
\frac{2L\lambda_J}{d}
=
\frac{2L\lambda_0}{d\gamma\beta}
}.
\]
Следовательно, при увеличении скорости массивной частицы:
1. увеличивается величина \(\gamma\beta\);
2. уменьшается пространственный период \(\lambda_J\);
3. уменьшаются углы дифракционных минимумов;
4. центральный максимум и вся дифракционная картина сужаются.
2. уменьшается пространственный период \(\lambda_J\);
3. уменьшаются углы дифракционных минимумов;
4. центральный максимум и вся дифракционная картина сужаются.
В нерелятивистском пределе
\[
\tag{50}
\beta\ll1,
\qquad
\gamma\simeq1,
\]
поэтому
\[
\tag{51}
\lambda_J
\simeq
\frac{\lambda_0}{\beta},
\qquad
\Delta y
\simeq
\frac{2L\lambda_0}{d\beta}.
\]
Если небольшую скорость увеличить вдвое, пространственный период и ширина картины приблизительно уменьшатся вдвое. В релятивистской области сжатие происходит быстрее из-за роста \(\gamma\).
13. Почему складывается фазовая проекция, а регистрируется целый J
В интеграле (40) суммируется выражение \(\em e^{i\phi_\xi}\). Это не означает, что частица теряет внешнюю компоненту или превращается только во внутреннюю фазу. Полное состояние каждой альтернативы остаётся нормированным:
\[
\tag{52}
J_\xi\overline J_\xi=1.
\]
Роли двух компонент различны. Плоскость \((\ep,i\ep)\) задаёт внешние условия задачи: допустимость пути, направление после щели, скорость, координату \(\xi\) и область интегрирования. Плоскость \((\em,i\em)\) несёт внутреннюю периодичность, поэтому именно разности её фаз способны взаимно усиливаться или погашаться.
При регистрации эти два описания снова соединяются. Детектор не наблюдает отдельный идемпотент \(\em\); он регистрирует целую частицу. Фазовая сумма определяет только статистический вес места, в котором может произойти такое целостное событие.
Следовательно, предлагаемая интерпретация состоит из двух утверждений:
\[
\tag{53}
\boxed{
\begin{aligned}
\text{интерферируют}\quad&
\text{фазовые продолжения внутренней компоненты},
\\
\text{регистрируется}\quad&
\text{целый нормированный оператор }J.
\end{aligned}
}
\]
Первое утверждение связывает дифракцию с геометрией сплит-пространства. Второе согласует эту геометрию с локальным характером единичного события на экране.
14. Сопоставление со стандартной длиной волны де Бройля
Только теперь, когда пространственный период уже получен геометрически, можно выполнить независимую проверку через общепринятые физические величины.
В статье о геометрии массы частота покоя связана с массой выражением
\[
\tag{54}
\omega_0=\frac{m_0c^2}{\hbar}.
\]
Подставляя его в собственный пространственный масштаб (29), получаем
\[
\tag{55}
\lambda_0
=
\frac{2\pi c}{\omega_0}
=
\frac{2\pi\hbar}{m_0c}
=
\frac{h}{m_0c}.
\]
Теперь геометрический период (30) принимает вид
\[
\tag{56}
\lambda_J
=
\frac{h}{\gamma m_0c\beta}.
\]
Релятивистский импульс массивной частицы равен
\[
\tag{57}
p=\gamma m_0v
=
\gamma m_0c\beta.
\]
Следовательно,
\[
\tag{58}
\boxed{
\lambda_J
=
\frac{h}{\gamma m_0c\beta}
=
\frac{h}{p}
=
\lambda_{\mathrm{dB}}
}.
\]
Это совпадение является главным результатом статьи. Формула де Бройля не была исходным условием вывода. Она появилась после того, как собственная внутренняя периодичность была перенесена в лабораторное пространство релятивистской геометрией.
Тем самым модель предлагает следующий смысл длины волны де Бройля: это пространственный период внутренней фазы целого оператора \(J\), наблюдаемый при одновременном сравнении различных допустимых путей движущейся массивной частицы.
15. Сравнение с реальными экспериментами
Полученный геометрический результат можно сопоставить с несколькими типами реальных экспериментов. Они проверяют разные стороны предложенного описания: зависимость пространственного периода от скорости, локальность отдельной регистрации, применимость волнового закона к сложным объектам и особое положение фотона.
| Эксперимент | Что изменялось | Что наблюдалось | Связь с геометрией \(J\) |
|---|---|---|---|
| Опыт Дэвиссона—Джермера [2] | Скорость и импульс электронов | Изменение направлений дифракционных максимумов | При росте \(\beta\) величина \(\gamma\beta\) увеличивается, а \(\lambda_J\) уменьшается |
| Опыт Тономуры с электронным бипризмом [3] | Количество зарегистрированных электронов | Отдельные локальные попадания постепенно образуют интерференционные полосы | Каждое событие регистрирует целый \(J\), а распределение событий определяется сложением фаз допустимых продолжений |
| Дифракция молекул \(C_{60}\) [4] | Скорость массивных молекул | Интерференция сложных объектов и размытие картины при разбросе скоростей | Каждой скоростной группе соответствует своё значение \(b\) и свой период \(\lambda_J=\lambda_0\cot(\pi b)\) |
| Дифракция света разных частот | Частота и длина волны света | Длинноволновый свет создаёт более широкую картину, а коротковолновый — более узкую | Для безмассовой ветви масштаб задаётся частотой: \(\lambda_\gamma=c/\nu\), а не изменением скорости |
Таблица показывает, что разные эксперименты подтверждают не одну и ту же деталь модели, а последовательные части общей картины.
Опыт Дэвиссона—Джермера проверяет зависимость пространственного периода от движения;
опыт Тономуры — сочетание локального события с протяжённым распределением; дифракция \(C_{60}\) показывает универсальность фазового закона для массивных объектов;
опыты со светом отделяют безмассовую волновую ветвь от движения массивной частицы.
В опыте Дэвиссона и Джермера электроны рассеивались на кристалле никеля. Изменение ускоряющего напряжения изменяло скорость и импульс электронов, а вместе с ними — направления дифракционных максимумов. Полученная длина волны согласовалась с зависимостью \(\lambda=h/p\). Это означает, что при росте скорости наблюдаемый дифракционный масштаб действительно уменьшается, как предсказывают формулы (30), (46) и (49).
Важно, что опыт Дэвиссона—Джермера не был опытом с одиночной щелью: роль пространственной периодической структуры выполнял кристалл. Но проверяемая величина была той же — пространственная фаза электронной материи и её зависимость от импульса. Поэтому данный опыт подтверждает главный кинематический масштаб статьи, хотя конкретная функция распределения для кристалла отличается от однощелевой функции \(\operatorname{sinc}^2\).
Другой принципиальный результат получен в экспериментах с последовательным накоплением отдельных электронов. В опыте Тономуры и соавторов использовался электронный бипризм, а не две механические щели. Каждый электрон появлялся на детекторе как отдельная точка, но по мере увеличения числа событий становились видны устойчивые интерференционные полосы.
Такое наблюдение соответствует разделению, выраженному формулой (53): отдельное событие остаётся локальным и целостным, тогда как распределение множества событий определяется фазовыми соотношениями допустимых продолжений.
16. Атомы и крупные молекулы
Дифракция не является особенностью только электрона. Интерференционные эксперименты выполнены также с нейтронами, атомами и молекулами. Особенно нагляден опыт с молекулами \(C_{60}\), прошедшими через материальную дифракционную решётку. Наблюдение интерференции столь сложных объектов показывает, что пространственный фазовый закон не должен зависеть от элементарности частицы.
Для медленных массивных объектов релятивистский множитель практически равен единице, поэтому
\[
\tag{59}
\lambda_J
\simeq
\frac{h}{m_0v}.
\]
Отсюда следуют две экспериментально важные закономерности. При той же скорости более тяжёлый объект имеет меньшую длину волны и более узкую картину. При той же массе увеличение скорости также уменьшает длину волны. Разброс скоростей в пучке означает разброс \(\lambda_J\), поэтому максимумы разных подгрупп частиц частично накладываются и контраст картины снижается.
В геометрическом языке это означает, что каждая скоростная группа имеет собственное значение показателя \(b\) и, следовательно, собственный пространственный масштаб \(\lambda_0\cot(\pi b)\).
17. Почему фотон рассматривается отдельно
Для свободного фотона в вакууме скорость не является изменяемым параметром:
\[
\tag{60}
v=c,
\qquad
\beta=1.
\]
Нельзя просто подставить \(\beta=1\) в формулу (30). Она была выведена из собственной частоты \(\omega_0\) и собственного времени \(\tau\) массивной частицы. У фотона нет системы покоя, а значит, нет и собственной комптоновской периодичности того же типа.
Для фотонной, безмассовой ветви пространственный период определяется непосредственно частотой волны:
\[
\tag{61}
\boxed{
\lambda_\gamma
=
\frac{c}{\nu}
=
\frac{2\pi c}{\omega}
}.
\]
Поэтому изменить дифракционную картину света в вакууме можно не изменением скорости фотона, а изменением частоты. Для одной щели
\[
\tag{62}
d\sin\theta_n
=
n\lambda_\gamma
=
n\frac{c}{\nu}.
\]
Более длинноволновый свет даёт более широкую картину, а повышение частоты сужает её. Таким образом, массивная и безмассовая ветви приводят к одинаковой геометрии сложения фаз на щели, но источник их пространственного периода различен:
\[
\tag{63}
\boxed{
\begin{aligned}
|\beta| < 1:
\qquad&
\lambda_J=\frac{\lambda_0}{\gamma\beta},
\\[1mm]
|\beta|=1:
\qquad&
\lambda_\gamma=\frac{c}{\nu}.
\end{aligned}
}
\]
18. Что получено из геометрии, а что пока остаётся гипотезой
Для оценки результата необходимо строго разделить три уровня рассуждения.
Первый уровень — геометрический вывод внутри модели. Из собственного вращения \(\em e^{i\omega_0\tau}\), преобразования времени и связи \(\beta=\sin(\pi b)\) получены пространственная фаза
\[
\tag{64}
\Delta\phi
=
-\frac{\omega_0}{c}
\tan(\pi b)\,\Delta\ell
\]
и пространственный период
\[
\tag{65}
\lambda_J
=
\lambda_0\cot(\pi b).
\]
Второй уровень — известный экспериментальный закон. Дифракция массивных частиц определяется длиной волны \(h/p\), которая уменьшается при росте импульса. После связи собственной частоты с массой геометрический период точно воспроизводит этот закон.
Третий уровень — новая интерпретация. Модель связывает внешнее ограничение путей с \(\ep\)-плоскостью, различие внутренних фаз — с \(\em\)-плоскостью, а отдельную регистрацию — с целым оператором \(J\). Именно эта интерпретация пока не выделяется из эксперимента однозначно: те же наблюдаемые картины описываются стандартной квантовой механикой.
Кроме того, правило \(P\propto|\mathcal A_J|^2\) в настоящей статье принято, а не получено из единичной нормы \(J\). Для завершённой теории требуется вывести квадратичное правило из взаимодействия оператора частицы с оператором детектора.
Поэтому совпадение формулы (58) следует считать важной проверкой внутренней согласованности геометрии, но не окончательным доказательством единственности предлагаемой модели.
Заключение
В статье была поставлена задача получить масштаб дифракции массивной частицы без первоначального введения импульса и длины волны де Бройля. Исходным процессом служило внутреннее вращение оператора \(J=\j^a(-\j)^b\), заданное собственной частотой \(\omega_0\).
Релятивистское преобразование собственного времени показало, что движущаяся внутренняя фаза получает пространственную составляющую с коэффициентом
\[
\tag{66}
k_J
=
\frac{\omega_0}{c}\gamma\beta
=
\frac{\omega_0}{c}\tan(\pi b).
\]
Отсюда непосредственно возник пространственный период
\[
\tag{67}
\boxed{
\lambda_J
=
\frac{2\pi}{k_J}
=
\frac{\lambda_0}{\gamma\beta}
=
\lambda_0\cot(\pi b)
}.
\]
Интегрирование фаз по ширине одной щели привело к распределению \(\operatorname{sinc}^2\), а положение минимумов оказалось обратно пропорциональным \(\gamma\beta\). Поэтому при увеличении скорости массивной частицы дифракционная картина сужается. После независимого введения связи \(\omega_0=m_0c^2/\hbar\) геометрический период точно совпал с длиной волны де Бройля:
\[
\tag{68}
\boxed{
\lambda_J=\frac{h}{p}
}.
\]
В предлагаемой геометрической картине щель не рассекает частицу и не заставляет её буквально проходить одновременно по нескольким пространственным траекториям. В каждом отдельном событии частица сохраняет свою целостность, а её движение остаётся одномерным. Щель лишь создаёт множество допустимых продолжений этого движения, каждому из которых соответствует собственное накопление внутренней фазы.
Используемые материалы
- Википедия. Дифракция.
- C. Davisson, L. H. Germer. Diffraction of Electrons by a Crystal of Nickel, Physical Review 30, 705 (1927).
- A. Tonomura et al. Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern, American Journal of Physics 57, 117 (1989).
- M. Arndt et al. Wave-particle duality of C60 molecules, Nature 401, 680–682 (1999).