2026-08-14
Спин электрона как проявление двухплоскостного цикла замкнутой волны
Спин электрона обычно вводится как внутреннее квантовое свойство, которое не сводится к обычному вращению материальной частицы. Однако три его главных признака — две возможные проекции, половинный угловой закон и восстановление состояния только после поворота на два полных оборота — указывают на определённую геометрическую структуру.
В предлагаемой модели первичным объектом является не частица, внутри которой что-либо вращается, а единая нормированная волна. Частицей условно называется устойчивый локализованный режим этой волны. Внутри электрона она образует замкнутый путь, расщеплённый на две ветви одинакового радиуса, расположенные во взаимно перпендикулярных фазовых плоскостях. Волна проходит эти ветви последовательно, поэтому один полный оборот ещё не возвращает её в исходное внутреннее состояние.
Главный результат статьи будет получен непосредственно из длины такого пути. Каждая ветвь имеет длину \(2\pi R\), а полный контур — \(4\pi R\). Поэтому фундаментальная волна на нём накапливает фазу вдвое медленнее обычного орбитального угла:
\[\tag{1}
\boxed{
L_J=4\pi R
\quad\Longrightarrow\quad
k_J=\frac{1}{2R}
\quad\Longrightarrow\quad
\chi=\frac{\theta}{2}.
}
\]
Именно это геометрическое отношение приведёт к фазовому множителю \(e^{\pm i\theta/2}\), восстановлению состояния после \(4\pi\) и двум собственным значениям проекции момента \(\pm\hbar/2\). Стандартная спинорная запись появится только после этого — как компактное представление уже полученной двухплоскостной геометрии.
1. Постановка задачи
Для частицы со спином одна вторая измерение проекции на произвольно выбранную ось \(\mathbf n\) даёт только два результата:
\[\tag{2}
S_{\mathbf n}=+\frac{\hbar}{2},
\qquad
S_{\mathbf n}=-\frac{\hbar}{2}.
\]
Если ось измерения повёрнута относительно подготовленного состояния на угол \( heta\), вероятности двух результатов равны
\[\tag{3}
P_+(\theta)=\cos^2\frac{\theta}{2},
\qquad
P_-(\theta)=\sin^2\frac{\theta}{2}.
\]
Кроме того, спинор после поворота на \(2\pi\) меняет знак, а полностью восстанавливается только после поворота на \(4\pi\):
\[\tag{4}
\Psi(2\pi)=-\Psi(0),
\qquad
\Psi(4\pi)=\Psi(0).
\]
Задача состоит не в том, чтобы переписать эти свойства с помощью уже готовых матриц Паули.
Необходимо сначала построить внутренний волновой контур, получить из его длины половинный угол,
а затем показать, почему генератор двух противоположных режимов имеет собственные значения \(\pm\hbar/2\).
2. Первичная волна и оператор состояния
Основой модели служат два взаимно дополнительных идемпотента:
\[\tag{5}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Полное состояние записывается оператором
\[\tag{6}
\boxed{
J(a,b)=\jmath^a(-\jmath)^b
=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}.
}
\]
Параметр \(a\) описывает внутреннее состояние, а параметр \(b\) — внешнее движение центра локализованной волны:
\[\tag{7}
a=\varpi t,
\qquad
\pi\varpi=\omega_{\mathrm{int}},
\qquad
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi},
\qquad
\beta=\frac{v}{c}.
\]
В системе покоя центра \(b=0\). Но внутреннее вращение может быть представлено в каждой из двух идемпотентных плоскостей. Введём два базисных состояния:
\[\tag{8}
J_1(a)=J(a,0)=\ep+\em e^{i\pi a},
\]
\[\tag{9}
J_2(a)=\ep e^{i\pi a}+\em
\equiv J(0,a).
\]
В формуле (9) запись \(J(0,a)\) используется как сокращённое обозначение внутренней фазы, перенесённой во вторую идемпотентную плоскость. Она не означает, что физический внешний параметр \(b\) стал равен внутреннему параметру \(a\). Для полного движущегося состояния роли \(a\) и \(b\) остаются неизменными.
Состояния \(J_1\) и \(J_2\) также не следует заранее называть спином вверх и спином вниз. Они образуют внутренний геометрический базис, из которого наблюдаемые проекции возникают только после выбора физической оси измерения.
3. Расщепление замкнутой орбиты по двум плоскостям
Пусть исходный замкнутый путь \(C\) расщепляется на две ветви \(C_1\) и \(C_2\). Они имеют одинаковый радиус, но принадлежат двум взаимно перпендикулярным фазовым плоскостям:
\[\tag{10}
C\longrightarrow C_1\cup C_2,
\qquad
C_1\subset\pi_1,
\qquad
C_2\subset\pi_2,
\qquad
\pi_1\perp\pi_2.
\]
\[\tag{11}
R_1=R_2=R.
\]
Это не две пространственно разнесённые орбиты и не две независимые волны. \(C_1\) и \(C_2\) являются двумя последовательными участками одного внутреннего пути. Одна и та же волна сначала проходит ветвь \(C_1\), затем переходит в плоскость \(\pi_2\), проходит ветвь \(C_2\) и только после этого возвращается в исходную плоскость:
\[\tag{12}
\boxed{
C_1\xrightarrow{\ 2\pi\ }C_2
\xrightarrow{\ 2\pi\ }C_1.
}
\]
Переход между плоскостями рассматривается как изменение листа внутреннего состояния в общей точке контура. Он не образует дополнительного протяжённого участка пути. Это условие существенно: точный половинный коэффициент возникает, когда полная длина состоит именно из двух окружностей одинакового радиуса.
Перпендикулярность относится прежде всего к внутренним фазовым плоскостям. Она не означает, что материальная точка мгновенно меняет направление движения в обычном трёхмерном пространстве. Наблюдаемая пространственная ориентация возникает после отображения полного двухкомпонентного состояния.
4. Полный двухплоскостной цикл
Начальное положение обозначим тройкой \((\pi_1,0,0)\), где первый элемент указывает фазовую плоскость, второй — накопленный орбитальный угол \(\theta\), а третий — фазу волны \(\chi\). После прохождения первой ветви орбитальный угол увеличивается на \(2\pi\), но волна оказывается на втором листе внутренней геометрии:
\[\tag{13}
(\pi_1,0,0)
\xrightarrow{\ 2\pi\ }
(\pi_2,2\pi,\pi).
\]
После второго оборота восстанавливаются и угловое положение, и номер внутренней плоскости:
\[\tag{14}
(\pi_2,2\pi,\pi)
\xrightarrow{\ 2\pi\ }
(\pi_1,4\pi,2\pi).
\]
Следовательно, угловая протяжённость полного внутреннего пути равна
\[\tag{15}
\boxed{\Theta_J=4\pi.}
\]
Обычная угловая координата повторяется через \(2\pi\), но полное состояние содержит ещё номер фазовой плоскости. Поэтому каждому наблюдаемому угловому положению соответствуют два внутренних представителя:
\[\tag{16}
(\theta,\pi_1),
\qquad
(\theta,\pi_2).
\]
Расщеплённый контур тем самым образует двулистное покрытие обычного углового цикла. Один пространственный оборот переводит волну на второй лист, а два оборота замыкают полный путь.
5. Геометрическое происхождение половинного угла
Теперь половинный угол можно получить непосредственно из длины контура. Длина каждой ветви равна
\[\tag{17}
L_1=L_2=2\pi R.
\]
Полная длина единого двухплоскостного пути составляет
\[\tag{18}
\boxed{
L_J=L_1+L_2=4\pi R.
}
\]
Пусть \(s\) — пройденная вдоль этого пути длина. Фундаментальный режим должен накопить фазу \(2\pi\) за один полный замкнутый контур. Поэтому его внутреннее волновое число равно
\[\tag{19}
\boxed{
k_J=\frac{2\pi}{L_J}
=\frac{1}{2R}.
}
\]
Фаза волны после прохождения длины \(s\) равна
\[\tag{20}
\chi(s)=k_Js=\frac{s}{2R}.
\]
Накопленный орбитальный угол связан с длиной пути обычным соотношением
\[\tag{21}
\theta=\frac{s}{R}.
\]
Подставляя \(s=R\theta\) в формулу (20), получаем центральный результат:
\[\tag{22}
\boxed{
\chi=\frac{\theta}{2}.
}
\]
Таким образом, коэффициент \(1/2\) не вводится как известное свойство спинора. Он возникает потому, что фазовый оборот \(2\pi\) распределён по полному пути длиной \(4\pi R\). Расщепление исходной орбиты на две последовательные ветви удваивает длину замыкания и вдвое уменьшает скорость накопления фазы относительно орбитального угла:
\[\tag{23}
\boxed{
L_J=4\pi R
\quad\Longrightarrow\quad
\chi=2\pi\frac{s}{L_J}
=\frac{\theta}{2}.
}
\]
Для более высоких гармоник на полном контуре возможно \(k_{J,n}=n/(2R)\). Электронному спиновому состоянию в настоящей модели сопоставляется фундаментальный нечётный режим \(n=1\), который меняет знак после прохождения половины полного пути.
6. Два направления прохождения и проекции спина
Единый двухплоскостной контур допускает два противоположных направления прохождения.
Обозначим соответствующие режимы через \(|J_+\rangle\) и \(|J_-\rangle\).
Они относятся ко всему контуру \(C_1\cup C_2\), а не к его отдельным плоскостям.
С учётом формулы (22) их фазовые представители имеют вид
\[\tag{24}
\Psi_+(\theta)=e^{-i\theta/2}|J_+\rangle,
\qquad
\Psi_-(\theta)=e^{+i\theta/2}|J_-\rangle.
\]
Генератор изменения состояния относительно угла \(\theta\) определим выражением
\[\tag{25}
\widehat S_{\mathbf n}
=i\hbar\frac{\partial}{\partial\theta}.
\]
Его действие на два противоположных режима даёт
\[\tag{26}
\widehat S_{\mathbf n}\Psi_+
=+\frac{\hbar}{2}\Psi_+,
\]
\[\tag{27}
\widehat S_{\mathbf n}\Psi_-
=-\frac{\hbar}{2}\Psi_-.
\]
Следовательно, геометрия полного контура выделяет две собственные проекции:
\[\tag{28}
\boxed{
S_{\mathbf n}=\pm\frac{\hbar}{2}.
}
\]
Множитель \(1/2\) в этих значениях имеет то же происхождение, что и половинная фаза: он является отношением одного фазового оборота к двум последовательным орбитальным оборотам.
7. Повороты на \(2\pi\) и \(4\pi\)
После прохождения первой ветви
\[\tag{29}
\theta=2\pi,
\qquad
\chi=\pi.
\]
Поэтому оба фазовых множителя становятся равными минус единице:
\[\tag{30}
e^{\pm i\pi}=-1.
\]
При проекции на то же физическое угловое положение внутренний представитель состояния меняет знак:
\[\tag{31}
\boxed{
\Psi(2\pi)=-\Psi(0).
}
\]
Геометрически волна при этом находится на второй ветви \(C_2\), поэтому полный внутренний путь ещё не замкнут. После второго оборота
\[\tag{32}
\theta=4\pi,
\qquad
\chi=2\pi,
\qquad
e^{\pm i2\pi}=1,
\]
и состояние полностью восстанавливается:
\[\tag{33}
\boxed{
\Psi(4\pi)=\Psi(0).
}
\]
Общий знак не изменяет вероятность отдельного измерения, поскольку квадрат модуля остаётся прежним. Однако относительный знак может проявиться при интерференции с состоянием, которое не прошло соответствующий поворот.
8. Двухкомпонентное состояние и стандартный спинор
После геометрического вывода внутреннее состояние можно представить суперпозицией двух базисных плоскостей:
\[\tag{34}
|\psi\rangle
=c_1|J_1\rangle+c_2|J_2\rangle,
\qquad
|c_1|^2+|c_2|^2=1.
\]
Здесь \(|J_1\rangle\) и \(|J_2\rangle\) соответствуют плоскостям \(\pi_1\) и \(\pi_2\).
Они являются внутренним базисом, но не фиксированными состояниями «вверх» и «вниз».
Конкретные измеряемые проекции определяются относительно выбранного направления \(\mathbf n\) в физическом пространстве.
Нормированному двухкомпонентному состоянию сопоставляется единичный пространственный вектор
\[\tag{35}
\mathbf n
=\langle\psi|\boldsymbol{\sigma}|\psi\rangle,
\qquad
\boldsymbol{\sigma}
=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z).
\]
Если направление \(\mathbf n\) задаётся полярным углом \(\theta\) и азимутом \(\varphi\), нормированный представитель состояния имеет вид
\[\tag{36}
\boxed{
|+\mathbf n\rangle_J
=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta/2)\\[1mm]
e^{i\varphi}\sin(\theta/2)
\end{pmatrix}.
}
\]
Половинный угол в формуле (36) теперь не является исходным постулатом: его фазовый масштаб уже получен из длины расщеплённого контура в формуле (22). Двухкомпонентная запись только отображает этот результат на произвольно ориентированное физическое направление.
Ортогональное состояние с противоположной проекцией можно выбрать в форме
\[\tag{37}
|-\mathbf n\rangle_J
=
\begin{pmatrix}
-e^{-i\varphi}\sin(\theta/2)\\[1mm]
\cos(\theta/2)
\end{pmatrix}.
\]
Оператор пространственного поворота этого двухкомпонентного состояния записывается как
\[\tag{38}
\boxed{
U_{\mathbf n}(\theta)
=\exp\left(
-\frac{i\theta}{2}
\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf n
\right).
}
\]
Тем самым стандартное отображение \(SU(2)\to SO(3)\) возникает здесь как матричная форма уже построенного двулистного цикла:
\[\tag{39}
U_{\mathbf n}(2\pi)=-I,
\qquad
U_{\mathbf n}(4\pi)=I.
\]
Сравнивая формулу (38) с общим оператором вращения \(U=\exp(-i\theta\widehat S_{\mathbf n}/\hbar)\), получаем
\[\tag{40}
\boxed{
\widehat S_{\mathbf n}
=\frac{\hbar}{2}
\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf n.
}
\]
9. Изменение оси измерения
Пусть состояние подготовлено с положительной проекцией относительно исходной оси, а новая ось анализатора повёрнута на угол \(\theta\). В базисе нового анализатора состояние раскладывается по двум собственным каналам:
\[\tag{41}
|+\mathbf z\rangle
=\cos\frac{\theta}{2}|+\mathbf n\rangle
-e^{-i\varphi}\sin\frac{\theta}{2}|-\mathbf n\rangle.
\]
Если статистический вес результата определяется квадратом модуля соответствующей амплитуды, получаем
\[\tag{42}
\boxed{
P_{+\to+}(\theta)
=\cos^2\frac{\theta}{2},
\qquad
P_{+\to-}(\theta)
=\sin^2\frac{\theta}{2}.
}
\]
Полная вероятность сохраняется:
\[\tag{43}
P_{+\to+}+P_{+\to-}=1.
\]
Средняя проекция спина на новую ось равна
\[\tag{44}
\langle S_{\mathbf n}\rangle
=\frac{\hbar}{2}
\left(
\cos^2\frac{\theta}{2}
-\sin^2\frac{\theta}{2}
\right)
=\frac{\hbar}{2}\cos\theta.
\]
Таким образом, угловая зависимость вероятностей является продолжением того же геометрического коэффициента \(1/2\), который сначала возник из удвоенной длины внутреннего пути.
10. Опыт Штерна—Герлаха
Опыт Штерна—Герлаха показывает дискретность проекции магнитного момента. В исторической установке использовался пучок нейтральных атомов серебра. Неоднородное магнитное поле связывает две возможные проекции магнитного момента с противоположными пространственными отклонениями.
Потенциальная энергия магнитного момента в поле и соответствующая сила вдоль оси \(z\) равны
\[\tag{45}
U=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf B,
\qquad
F_z=-\frac{\partial U}{\partial z}
\simeq\mu_z\frac{\partial B_z}{\partial z}.
\]
Для электрона магнитный момент противоположен спину вследствие отрицательного заряда:
\[\tag{46}
\boldsymbol{\mu}_e
=-g\frac{e}{2m_e}\mathbf S.
\]
Поэтому двум собственным значениям \(S_{mathbf n}=pmhbar/2\) соответствуют противоположные силы. Вместо непрерывной полосы возникают два пространственно разделённых канала.
Перед анализатором состояние относительно его оси может содержать обе проекции:
\[\tag{47}
|\psi\rangle
=A_+|+\mathbf n\rangle
+A_-|-\mathbf n\rangle.
\]
Неоднородное поле связывает их с двумя расходящимися волновыми пакетами:
\[\tag{48}
|\psi\rangle\Phi_0
\longrightarrow
A_+|+\mathbf n\rangle\Phi_+
+A_-|-\mathbf n\rangle\Phi_-.
\]
После накопления большого числа событий отношение интенсивностей двух пятен стремится к
\[\tag{49}
\boxed{
I_+:I_-=|A_+|^2:|A_-|^2.
}
\]
Магнит не создаёт две новые внутренние сущности и не выбирает одну из фазовых плоскостей \(\pi_1\), \(\pi_2\) напрямую. Он задаёт физическую ось, относительно которой двухкомпонентная информация полного состояния отображается в два пространственно расходящихся канала:
\[\tag{50}
\boxed{
\text{двухкомпонентная внутренняя информация}
\longrightarrow
\text{два пространственных канала}.
}
\]
Если второй анализатор ориентирован вдоль той же оси, подготовленный первым магнитом канал проходит повторно с единичной вероятностью. Если ось второго анализатора перпендикулярна первой, формула (42) даёт два равновероятных результата. Таким образом, результат «вверх» или «вниз» относится не к неизменной внутренней плоскости, а к проекции полного состояния на текущую ось анализатора.
Двухплоскостная геометрия определяет две амплитуды и их угловую зависимость. Однако превращение суперпозиции в один зарегистрированный результат требует отдельной динамической модели взаимодействия волны с магнитом и экраном. В настоящей статье используется соответствие между квадратом модуля амплитуды и статистической частотой регистрации.
11. Что получено из геометрии, а что принято дополнительно
Полезно разделить непосредственные результаты построения и дальнейшие физические соответствия.
Из принятой геометрии расщеплённого контура следуют:
1. две перпендикулярные фазовые плоскости внутреннего состояния;
2. единый последовательный путь \(C_1 o C_2 o C_1\);
3. полная длина фундаментального контура \(L_J=4\pi R\);
4. внутреннее волновое число \(k_J=1/(2R)\);
5. половинная фаза \(\chi=\theta/2\);
6. изменение знака представителя после \(2\pi\) и восстановление после \(4\pi\);
7. два противоположных значения генератора \(\pm\hbar/2\).
Физическими отображениями или дополнительными условиями остаются:
1. отождествление этих двух значений с наблюдаемым спином электрона;
2. отображение внутреннего идемпотентного базиса на произвольное направление в физическом трёхмерном пространстве;
3. квадратичное правило вероятностей;
4. связь спина с магнитным моментом и величина \(g\)-фактора;
5. динамика выбора одного результата при регистрации.
Такое разделение не ослабляет модель, а показывает точную границу уже построенной геометрии. Особенно важно, что множитель \(1/2\) возникает до обращения к стандартному оператору спина — из длины единого двухплоскостного пути.
12. Связь с переходом спина в поляризацию
Двухплоскостная структура не исчезает при переходе локализованной волны в распространяющееся состояние. В следующей работе рассматривается аннигиляция электрон-позитронной пары, при которой совместная спиновая корреляция переходит в корреляцию поляризаций двух фотонов.
\[\tag{51}
\boxed{
|S=0\rangle_{e^-e^+}
\longrightarrow
|\Psi_{\mathrm{pol}}\rangle_{\gamma_1\gamma_2}.
}
\]
При этом нельзя считать, что плоскость \(\pi_1\) буквально превращается в один фотон, а плоскость \(\pi_2\) — во второй. Преобразуется совместное состояние всей пары, а внутренняя двухкомпонентная информация локализованного режима получает продолжение в двухкомпонентном поперечном состоянии свободного излучения. Этот переход подробно рассматривается в статье «Переход спина электрона и позитрона в поляризацию фотонов».
Заключение
В предлагаемой модели спин возникает не из вращения материального шарика и не вводится как независимое свойство готовой частицы. Его геометрическим основанием служит замкнутая первичная волна, путь которой расщеплён между двумя взаимно перпендикулярными фазовыми плоскостями.
Каждая ветвь имеет длину \(2\pi R\), но полное состояние возвращается к исходной плоскости только после прохождения обеих ветвей. Поэтому длина замыкания равна \(4\pi R\). Фундаментальная волна на таком контуре имеет волновое число \(1/(2R)\), вследствие чего её внутренняя фаза равна половине накопленного орбитального угла:
\[\tag{52}
\boxed{
C_1\perp C_2
\quad\Longrightarrow\quad
L_J=4\pi R
\quad\Longrightarrow\quad
\chi=\frac{\theta}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
S_{\mathbf n}=\pm\frac{\hbar}{2}.
}
\]
После одного оборота волна переходит на второй лист внутреннего состояния и её фазовый представитель меняет знак. После второго оборота восстанавливаются и фаза, и исходная плоскость. Стандартная \(4\pi\)-периодичность спинора оказывается матричным отображением этого полного двухплоскостного цикла.
При изменении оси измерения две внутренние компоненты образуют две амплитуды с коэффициентами \(\cos(\theta/2)\) и \(\sin(\theta/2)\).
Неоднородное магнитное поле отображает их в два пространственных канала, сохраняя норму и информацию полного состояния.
Тем самым расщеплённая орбита связывает в одной последовательности половинную фазу, проекции \(\pm\hbar/2\), периодичность \(4\pi\) и наблюдаемое двухканальное расщепление.