2026-07-17
Геометрическое происхождение обобщённого закона Ридберга в И-базисе
Введение
В настоящей работе в новом комплексно расширенном идемпотентном базисе (И-базисе) выводится обобщённый закон Ридберга [1], связывающий частоту спектрального перехода с геометрией внутренних состояний частицы.
Дискретные энергетические уровни при этом не вводятся как независимый квантовый постулат: они возникают из условия замыкания внутреннего периодического движения, которое приводит к появлению целочисленного параметра
\(
n
\).
На этой основе последовательно устанавливается зависимость энергии частицы от геометрического угла внутреннего движения, определяется энергия перехода между двумя состояниями и получается обобщённая формула спектральных частот.
Классический закон Ридберга рассматривается далее как частный случай этой более общей геометрической зависимости.
Основой модели служит внутренний вектор частицы, построенный в базисе
\(\{\ep,i\ep,\em,i\em\}\).
Его вращательная компонента определяет внутреннее состояние, а общий геометрический угол движения задаёт наблюдаемую скорость и полную энергию частицы. Переход между двумя допустимыми состояниями сопровождается выделением разности энергий в виде волны с частотой \(f\).
Исходные свойства и-базиса, связь внутреннего вращения с сохранением нормы и геометрическое происхождение массы рассмотрены в предыдущих работах:
1. Алгебраическая основа и-базиса
Рассмотрим два взаимно дополнительных идемпотента \(\ep\) и \(\em\), удовлетворяющих соотношениям
\[
\tag{1}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Комплексное расширение каждого идемпотентного направления образует четырёхмерный действительный базис
\[
\tag{2}
\left\{
\ep,
\;i\ep,
\;\em,
\;i\em
\right\}.
\]
Внутреннее состояние частицы зададим безразмерным вектором
\[
\tag{3}
J(t)
=
\ep
+
\em e^{-i\omega t}.
\]
Первая компонента остаётся постоянной, а вторая вращается в комплексной плоскости \(\{\em,i\em\}\). Разложение экспоненты даёт
\[
\tag{4}
J(t)
=
\ep
+
\em\cos\omega t
-
i\em\sin\omega t.
\]
2. Масса как характеристика внутреннего вращения
Производная внутреннего вектора равна
\[
\tag{5}
\frac{dJ}{dt}
=
-i\omega\em e^{-i\omega t}.
\]
Её норма постоянна:
\[
\tag{6}
\left\|
\frac{dJ}{dt}
\right\|
=
\omega.
\]
Масса частицы определяется скоростью изменения внутреннего состояния:
\[
\tag{7}
m
=
\frac{\hbar}{c^2}
\left\|
\frac{dJ}{dt}
\right\|.
\]
Подстановка выражения (6) приводит к соотношению
\[
\tag{8}
mc^2
=
\hbar\omega.
\]
Таким образом, масса связана не с абсолютным значением внутренней фазы, а с постоянной угловой скоростью её изменения.
3. Полный вектор движения
Полный вектор скорости частицы представим в виде
\[
\tag{9}
V(t)
=
c e^{i\theta}J(t),
\]
где \(\theta\) — геометрический угол, определяющий распределение движения между внутренней и наблюдаемой составляющими. Норма полного вектора сохраняется:
\[
\tag{10}
\left|V(t)\right|
=
c.
\]
Наблюдаемая скорость является проекцией полного движения:
\[
\tag{11}
v
=
c\sin\theta.
\]
Отсюда
\[
\tag{12}
\beta
=
\frac{v}{c}
=
\sin\theta.
\]
Геометрический аналог фактора Лоренца имеет вид
\[
\tag{13}
\gamma
=
\frac{1}{\cos\theta}
=
\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
\]
Полная энергия частицы тогда определяется выражением
\[
\tag{14}
E(\theta)
=
\gamma mc^2
=
\frac{mc^2}{\cos\theta}.
\]
4. Энергия перехода между состояниями
Каждому допустимому состоянию частицы соответствует определённая геометрия её внутреннего движения.
В предыдущем разделе было показано, что полная энергия такого состояния определяется углом
\(
\theta
\)
и задаётся формулой (14).
Следовательно, переход между двумя устойчивыми состояниями сопровождается изменением полной энергии частицы.
Пусть частица переходит из состояния
\(
1
\)
в состояние
\(
2
\).
Если энергия первого состояния больше энергии второго, то возникающая разность энергий должна быть передана окружающему пространству.
Предполагая, что эта энергия распространяется в виде электромагнитной волны, получаем
\[
\tag{15}
hf
=
E_1-E_2.
\]
Теперь подставим в это выражение формулу (14) для каждого из состояний.
Тогда энергия перехода приобретает вид
\[
\tag{16}
hf
=
mc^2
\left(
\frac{1}{\cos\theta_1}
-
\frac{1}{\cos\theta_2}
\right).
\]
Полученная формула показывает, что частота испускаемой или поглощаемой волны определяется исключительно изменением внутреннего состояния частицы.
Таким образом, волна возникает не как самостоятельный физический объект, а как следствие перехода между двумя геометрически различными конфигурациями внутреннего движения.
До этого момента рассматривалась только геометрия частицы.
Формула (16) впервые связывает эту геометрию с распространяющейся волной.
Следовательно, волновой процесс появляется как прямое следствие изменения внутреннего состояния частицы.
Однако выражение (16) ещё не объясняет происхождение линейчатого спектра.
Если углы
\(
\theta_1
\)
и
\(
\theta_2
\)
могли бы принимать произвольные значения, частота также изменялась бы непрерывно.
Поэтому следующим шагом необходимо показать, что внутреннее движение допускает только дискретный набор устойчивых состояний.
Именно это условие приводит к появлению целочисленного параметра
\(
n
\)
и позволяет вывести обобщённую формулу Ридберга.
5. Замкнутые внутренние состояния
Внутреннее состояние частицы задаётся вращательной компонентой вектора
\[
\tag{17}
J(t)
=
\ep
+
\em e^{-i\omega t}.
\]
Пусть основной внутренний цикл имеет период
\[
\tag{18}
T
=
\frac{2\pi}{\omega}.
\]
Устойчивое состояние может замыкаться не только за один основной период, но и за целое число таких периодов:
\[
\tag{19}
T_n
=
nT,
\qquad
n
=
1,2,3,\ldots
\]
Натуральное число \(n\), таким образом, определяет порядок замыкания внутреннего периодического движения. Незамкнутые состояния не возвращают полный внутренний вектор к исходной конфигурации и не образуют стационарного режима.
6. Частота дискретного состояния
Угловая частота состояния, замыкающегося за время \(T_n\), равна
\[
\tag{20}
\omega_n
=
\frac{2\pi}{T_n}.
\]
С учётом выражения (19) получаем
\[
\tag{21}
\omega_n
=
\frac{2\pi}{nT}
=
\frac{\omega}{n}.
\]
Следовательно, различным порядкам замыкания соответствуют субгармонические режимы внутреннего движения. При увеличении \(n\) полный внутренний цикл совершается за большее время, а его эффективная угловая частота уменьшается обратно пропорционально \(n\).
7. Угол дискретного состояния
Пусть основному состоянию соответствует характерный геометрический угол
\[
\tag{22}
\theta_1
=
\alpha_{\mathrm{fs}},
\]
где \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) — постоянная тонкой структуры, геометрическая интерпретация которой была рассмотрена ранее.
Поскольку геометрический угол определяется накопленной фазой внутреннего движения, для состояния с частотой \(\omega_n=\omega/n\) получаем
\[
\tag{23}
\theta_n
=
\frac{\theta_1}{n}.
\]
Следовательно, допустимые углы образуют дискретный ряд
\[
\tag{24}
\theta_n
=
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}}{n},
\qquad
n
=
1,2,3,\ldots
\]
В отличие от предыдущего варианта вывода, здесь деление угла на \(n\) следует непосредственно из увеличения периода замыкания и уменьшения угловой частоты внутреннего состояния.
8. Точная энергия дискретного состояния
Фактор Лоренца для состояния \(n\) определяется формулой
\[
\tag{25}
\gamma_n
=
\frac{1}{\cos\theta_n}.
\]
Подставляя дискретный угол (24), получаем
\[
\tag{26}
\gamma_n
=
\frac{1}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n
\right)
}.
\]
Полная энергия состояния равна
\[
\tag{27}
E_n
=
mc^2\gamma_n
=
\frac{mc^2}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n
\right)
}.
\]
При \(n\to\infty\) угол \(\theta_n\to0\), фактор \(\gamma_n\to1\), а энергия \(E_n\to mc^2\). Поэтому \(mc^2\) является предельной энергией свободного состояния в данной геометрической схеме.
9. Обобщённый закон Ридберга
Подставляя дискретные энергии (27) в закон перехода (16), получаем точную спектральную формулу
\[
\tag{28}
hf
=
mc^2
\left(
\frac{1}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n_1
\right)
}
-
\frac{1}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n_2
\right)
}
\right).
\]
Для излучения положительной энергии предполагается, что начальное состояние имеет большую энергию. При принятой нумерации это соответствует условию \(n_1
Так как \(f=c/\lambda\), формулу (28) можно записать в виде
\[
\tag{29}
\frac{1}{\lambda}
=
\frac{mc}{h}
\left(
\frac{1}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n_1
\right)
}
-
\frac{1}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n_2
\right)
}
\right).
\]
Выражение (29) можно рассматривать как обобщённый закон Ридберга, содержащий точную геометрическую зависимость от дискретных углов внутреннего состояния.
10. Переход к классическому закону Ридберга
Поскольку \(\alpha_{\mathrm{fs}}\ll1\), разложим секанс малого угла в ряд:
\[
\tag{30}
\frac{1}{\cos x}
=
1
+
\frac{x^2}{2}
+
\frac{5x^4}{24}
+
\frac{61x^6}{720}
+
\cdots.
\]
Для дискретного состояния \(x=\alpha_{\mathrm{fs}}/n\), поэтому
\[
\tag{31}
\gamma_n
=
1
+
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2n^2}
+
\frac{5\alpha_{\mathrm{fs}}^4}{24n^4}
+
\frac{61\alpha_{\mathrm{fs}}^6}{720n^6}
+
\cdots.
\]
В первом приближении
\[
\tag{32}
E_n
\approx
mc^2
+
\frac{mc^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2n^2}.
\]
Постоянная часть \(mc^2\) сокращается при вычислении разности энергий. Поэтому
\[
\tag{33}
hf
\approx
\frac{mc^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2}
\left(
\frac{1}{n_1^2}
-
\frac{1}{n_2^2}
\right).
\]
Переходя от частоты к длине волны, получаем
\[
\tag{34}
\frac{1}{\lambda}
=
R
\left(
\frac{1}{n_1^2}
-
\frac{1}{n_2^2}
\right),
\]
где
\[
\tag{35}
R
=
\frac{mc\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2h}.
\]
Формулы (34) и (35) совпадают по структуре с классическим законом Ридберга и его постоянной в приближении бесконечно тяжёлого ядра.
11. Учёт движения ядра
Для реального атома электрон и ядро движутся относительно общего центра масс. Поэтому вместо массы электрона необходимо использовать приведённую массу
\[
\tag{36}
\mu
=
\frac{m_eM}{m_e+M},
\]
где \(M\) — масса ядра. Тогда точная геометрическая формула принимает вид
\[
\tag{37}
hf
=
\mu c^2
\left(
\frac{1}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n_1
\right)
}
-
\frac{1}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n_2
\right)
}
\right),
\]
а постоянная Ридберга для данного ядра равна
\[
\tag{38}
R_M
=
\frac{\mu c\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2h}.
\]
При \(M\to\infty\) приведённая масса стремится к массе электрона, и выражение (38) переходит в формулу (35).
12. Высшие геометрические поправки
Точная формула (28) содержит не только главный член порядка \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\), но и бесконечную последовательность более высоких поправок. С учётом следующего члена разложения имеем
\[
\tag{39}
hf
\approx
\frac{mc^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2}
\left(
\frac{1}{n_1^2}
-
\frac{1}{n_2^2}
\right)
+
\frac{5mc^2\alpha_{\mathrm{fs}}^4}{24}
\left(
\frac{1}{n_1^4}
-
\frac{1}{n_2^4}
\right)
+
\cdots.
\]
Первое слагаемое воспроизводит обычный закон Ридберга. Последующие члены являются собственными геометрическими поправками модели и возникают непосредственно из точного выражения для \(\gamma_n=\sec(\alpha_{\mathrm{fs}}/n)\).
Относительный масштаб первой поправки определяется величиной порядка \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\), поэтому она значительно меньше основного спектрального члена.
13. Геометрический смысл квантового числа
В рассматриваемой модели число \(n\) определяет порядок замыкания внутреннего движения, увеличивает его период, уменьшает угловую частоту и фиксирует геометрический угол состояния.
\[
\tag{40}
n
\longrightarrow
T_n
=
nT
\longrightarrow
\omega_n
=
\frac{\omega}{n}
\longrightarrow
\theta_n
=
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}}{n}.
\]
Дискретность энергии, следовательно, является не отдельным требованием, а результатом замыкания внутренней траектории через целое число основных периодов и геометрической зависимости энергии от угла движения.
14. Граничные состояния
При \(n=1\) угол и энергия максимальны:
\[
\tag{41}
\theta_1
=
\alpha_{\mathrm{fs}},
\qquad
E_1
=
\frac{mc^2}{
\cos\alpha_{\mathrm{fs}}
}.
\]
При увеличении \(n\) угол стремится к нулю, а энергия приближается к \(mc^2\):
\[
\tag{42}
\lim_{n\to\infty}\theta_n
=
0,
\qquad
\lim_{n\to\infty}\gamma_n
=
1,
\qquad
\lim_{n\to\infty}E_n
=
mc^2.
\]
Такое предельное состояние можно интерпретировать как отделение частицы от связанной дискретной структуры, когда геометрическая добавка к энергии исчезает.
15. Итоговая система соотношений
Основные результаты модели можно представить в компактной форме:
\[
\tag{43}
T_n
=
nT,
\qquad
n
=
1,2,3,\ldots
\]
\[
\tag{44}
\omega_n
=
\frac{\omega}{n},
\qquad
\theta_n
=
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}}{n}.
\]
\[
\tag{45}
\gamma_n
=
\frac{1}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n
\right)
}.
\]
\[
\tag{46}
E_n
=
\frac{mc^2}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n
\right)
}.
\]
\[
\tag{47}
hf
=
mc^2
\left(
\frac{1}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n_1
\right)
}
-
\frac{1}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n_2
\right)
}
\right).
\]
\[
\tag{48}
\frac{1}{\lambda}
\approx
R
\left(
\frac{1}{n_1^2}
-
\frac{1}{n_2^2}
\right).
\]
Выводы
В работе предложено геометрическое построение дискретных энергетических состояний частицы в и-базисе. Натуральное квантовое число возникает не как независимый постулат, а как следствие условия замыкания внутреннего периодического движения через целое число основных циклов.
Увеличение периода состояния по закону
\(
T_n=nT
\)
приводит к уменьшению его угловой частоты:
\(
\omega_n=\omega/n
\).
Поскольку геометрический угол состояния связан с частотой внутреннего движения, допустимые состояния образуют дискретный ряд
\(
\theta_n=\alpha_{\mathrm{fs}}/n
\).
На этой основе получены точный геометрический фактор
\(
\gamma_n=1/\cos(\alpha_{\mathrm{fs}}/n)
\)
и соответствующий энергетический ряд
\(
E_n=mc^2/\cos(\alpha_{\mathrm{fs}}/n)
\).
При
\(
n\to\infty
\)
геометрический угол стремится к нулю, а энергия состояния приближается к предельному значению
\(
mc^2
\).
Разность энергий двух допустимых состояний приводит к обобщённой спектральной формуле
\[
hf
=
mc^2
\left(
\frac{1}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n_1
\right)
}
-
\frac{1}{
\cos
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}/n_2
\right)
}
\right).
\]
Она связывает частоту излучения или поглощения непосредственно с изменением геометрии внутреннего состояния частицы.
При разложении точной зависимости по малому параметру
\(
\alpha_{\mathrm{fs}}
\)
постоянная часть энергии
\(
mc^2
\)
сокращается в разности уровней, а первый переменный член приобретает зависимость
\(
1/n^2
\).
В результате обобщённая формула переходит в классический закон Ридберга:
\[
\frac{1}{\lambda}
\approx
R
\left(
\frac{1}{n_1^2}
-
\frac{1}{n_2^2}
\right),
\qquad
R
=
\frac{mc\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2h}.
\]
Таким образом, классическая зависимость
\(
E_n\sim1/n^2
\)
относится не ко всей энергии состояния, а к её переменной геометрической части относительно предельного уровня
\(
mc^2
\).
Закон обратных квадратов возникает как первое приближение более общей зависимости
\(
1/\cos(\alpha_{\mathrm{fs}}/n)
\).
Использование приведённой массы вместо массы электрона позволяет естественным образом учесть движение ядра относительно общего центра масс. Точная формула содержит также члены более высоких порядков по
\(
\alpha_{\mathrm{fs}}
\),
которые в рамках рассматриваемой модели представляют собой собственные геометрические поправки.
Квантовое число
\(
n
\)
получает в данной схеме непосредственный геометрический смысл. Оно характеризует порядок замыкания внутреннего движения, определяет длительность полного цикла, его эффективную частоту и соответствующий геометрический угол состояния:
\[
n
\longrightarrow
T_n=nT
\longrightarrow
\omega_n=\frac{\omega}{n}
\longrightarrow
\theta_n=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}}{n}
\longrightarrow
E_n.
\]
Изменение энергетического состояния можно поэтому интерпретировать как переход между различными устойчивыми режимами внутренней периодичности. Спектральная линия возникает вследствие разности энергий двух таких режимов, а линейчатый спектр представляет собой проявление дискретных режимов замкнутого внутреннего движения частицы.
Такая интерпретация не требует связывать квантовое число непосредственно с номером пространственной орбиты. Возможность построения модели атомных состояний без введения набора классических стационарных орбит представляет отдельное направление дальнейшего исследования.
Тем самым обобщённый закон Ридберга связывается с двумя основными геометрическими принципами: существованием устойчивых замкнутых режимов внутреннего движения и зависимостью полной энергии частицы от геометрии этого движения. И-базис объединяет эти принципы в единую математическую схему и позволяет получить спектральную зависимость как следствие внутренней динамики частицы.
Используемые материалы
- Википедия. Формула Ридберга.