2026-07-08
Новый декартов базис двух независимых комплексных плоскостей
В работе предлагается новый взгляд на геометрию комплексного пространства, основанный на декартовом базисе двух независимых комплексных плоскостей. Такой подход позволяет естественным образом построить четырёхмерное пространство-время, в котором координата времени и три пространственные координаты возникают как компоненты единой алгебраической структуры.
На этой основе вводится вектор скорости материальной точки, описывающий её внутреннее волновое движение.
Интегрирование вектора скорости приводит к винтовой траектории движения и позволяет получить характерный радиус внутреннего вращения \(r=\lambda/2\pi\).
Полученное выражение полностью совпадает с ранее выведенной формулой радиуса электрона,
что устанавливает связь между новым декартовым базисом и волновой моделью элементарной частицы.
Кроме того, данная конструкция служит отправной точкой для дальнейшего вывода преобразований Лоренца и происхождения лоренц-фактора.
Особый интерес представляет то, что предложенная конструкция объединяет в рамках единой модели как комплексную мнимую единицу \(i\),
так и гиперболическую единицу \(\j\),
что открывает возможность совместного использования обеих алгебраических структур при описании физических процессов.
Комплексные числа традиционно рассматриваются как элементы двумерного пространства с декартовым базисом \(\{1,i\}\), где \(i^2=-1\).
Такое представление является естественным для большинства задач анализа и геометрии, однако не является единственно возможным.
В настоящей работе предлагается альтернативный подход, основанный на представлении пространства как прямой суммы двух независимых комплексных плоскостей.
Каждая из них обладает собственной действительной и мнимой осями, при этом обе используют общую мнимую единицу \(i\).
Для описания этих плоскостей вводятся два взаимно ортогональных базисных элемента \(\ep\) и \(\em\), разделяющие пространство на две независимые комплексные компоненты.
В результате возникает естественный декартов базис
\[
\tag{1}
\{\ep,i\ep,\em,i\em\}.
\]
Любой элемент нового пространства представляется в виде суммы двух независимых комплексных чисел
\[
Z=(a+ib)\ep+(c+id)\em,
\]
где: \(a,b,c,d\in\mathbb R\).
При таком построении гиперболическая единица
\[
\tag{2}
\j = \ep - \em
\]
оказывается не исходным объектом, а производным элементом, естественно возникающим как разность двух базисных элементов.
Предлагаемый базис представляет интерес не только как самостоятельная алгебраическая конструкция,
но и как средство описания более общей модели Единичного пространства.
В рамках этой модели постулируется, что движение любой материальной точки всегда является одномерным и описывается только двумя координатами: координатой времени и координатой пространства.
Следовательно, наблюдаемая многомерность мира должна возникать не за счёт увеличения числа независимых направлений движения,
а посредством объединения нескольких одномерных пространств в единую алгебраическую структуру.
В настоящей работе показано, что такую структуру естественным образом образуют две независимые комплексные плоскости, каждая из которых соответствует собственному одномерному пространству.
Их объединение приводит к появлению четырёхмерного декартова базиса (1), который далее рассматривается как математическая основа построения единого четырёхмерного пространства.
Кроме того, предлагаемый декартов базис непосредственно связан с результатами, полученными в данной статье,
где было показано, что комплексная и гиперболическая алгебры могут рассматриваться в рамках единой математической конструкции.
Свойства нового базиса
Поскольку элементы \(\ep\) и \(\em\) описывают две независимые комплексные плоскости, они должны удовлетворять следующим естественным условиям.
\[\tag{3}
\begin{split}
\ep^2=\ep,
\\
\em^2=\em,
\\
\ep\em=0,
\\
\ep+\em=1.
\end{split}
\]
Первые два равенства означают, что повторное проектирование на одну и ту же комплексную плоскость не изменяет результат.
Третье выражает независимость обеих плоскостей, а последнее показывает, что их сумма образует единичный элемент пространства.
Следовательно, любой элемент нового пространства единственным образом раскладывается по базису (1).
Следует отметить, что элементы \(\ep\) и \(\em\) не являются новыми математическими объектами.
Они представляют собой хорошо известные идемпотенты [1-2], широко применяемые в различных разделах алгебры для разложения пространства на независимые компоненты.
В литературе они обычно обозначаются символами \(e_+\) и \(e_-\) и определяются как
\[\tag{4}
\ep\equiv e_+=\frac{1+\j}{2},
\qquad
\em\equiv e_-=\frac{1-\j}{2}.
\]
В настоящей работе, сохраняя их математический смысл без изменений, используются эквивалентные обозначения \(\ep\) и \(\em\), которые делают математические выражения более компактными и наглядными.
Новизна предлагаемого подхода заключается не во введении новых алгебраических элементов, а в их интерпретации как декартова базиса двух независимых комплексных плоскостей,
что позволяет построить единую четырёхмерную систему координат.
Ещё одним важным свойством нового базиса является существование естественной нормы.
Рассмотрим произвольный элемент
\[\tag{5} J= \ep e^{ig} + \em e^{ih}, \]
где \(g\) и \(h\) — независимые фазовые углы двух комплексных плоскостей.
Комплексное сопряжение имеет вид
\[\tag{6} J^*= \ep e^{-ig} + \em e^{-ih}. \]
Тогда модуль определяется произведением \[ |J|^2 = JJ^*. \]
Используя свойства идемпотент (3)
\[\tag{7} \ep^2=\ep, \qquad \em^2=\em, \qquad \ep\em=0, \]
получаем
\[\tag{8} |J|^2 = \ep + \em = 1. \]
Следовательно,
\[\tag{9} |J|=1. \]
Таким образом, независимо от значений фаз \(g\) и \(h\), элемент \(J\) всегда принадлежит единичному многообразию нового пространства.
Это свойство является прямым аналогом единичной окружности комплексной плоскости, однако теперь оно одновременно выполняется для двух независимых комплексных компонент.
В дальнейшем именно сохранение этой нормы будет играть ключевую роль при построении векторов движения и исследовании их геометрических свойств.
Из неё, например, будет прямо следовать закон сохранения энергии в замкнутой системе.
Пространственно-временная интерпретация нового базиса
Введённый базис допускает естественную геометрическую интерпретацию. Будем рассматривать идемпотенту \(\ep \) как направление времени, а три оставшиеся базисные компоненты — как ортогональные пространственные координаты. Тогда между элементами базиса и координатами пространства-времени устанавливается следующее соответствие:
\[\tag{10}
\begin{aligned}
\ep &\longleftrightarrow ct,\\
i\ep &\longleftrightarrow x,\\
\em &\longleftrightarrow y,\\
i\em &\longleftrightarrow z.
\end{aligned}
\]
Тем самым базис
\[
\{\ep ,\;i\ep ,\;\em,\;i\em\}
\]
приобретает смысл четырёхмерного пространства \(\{ct,x,y,z\}\), в котором координата времени является не отдельной величиной, а одной из компонент единой алгебраической структуры.
Пример вектора движения
На основе такого представления введём вектор скорости
\[\tag{11}
V(t)=c\left(\ep +\em e^{i\omega t}\right),
\]
где \(c\) — скорость света, \(\omega\) — угловая частота внутреннего движения, а \(t\) — время.
Используя формулу Эйлера,
\[
e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t),
\]
получаем
\[\tag{12}
V(t)
=
c \left(\ep
+
\cos(\omega t)\,\em
+
\sin(\omega t)\,i\em\right)
\]
Следовательно, в координатном представлении данный вектор имеет вид
\[\tag{13}
V(t)=
\begin{pmatrix}
c\\
0\\
c\cos(\omega t)\\
c\sin(\omega t)
\end{pmatrix},
\]
что соответствует движению в пространстве-времени
\[\tag{14}
(ct,x,y,z).
\]
Это отражено на следующем рисунке.
Рис. 1 Движение точки по вектору скорости c координатами \(ct, y, z\)
|
Таким образом, в рассматриваемой модели материальная точка непрерывно движется вдоль временной координаты со скоростью света, одновременно совершая внутреннее круговое движение в плоскости \((y,z)\).
Координата \(x\) при этом остаётся равной нулю и может возникать при переходе к другой системе отсчёта.
В статье «Происхождение лоренц-фактора» показано,
что именно такая геометрическая интерпретация приводит к естественному появлению преобразований Лоренца и соответствующего лоренц-фактора.
Вектор перемещения
Поскольку величина \(V(t)\) задаёт вектор движения, соответствующий вектор перемещения можно получить интегрированием по времени:
\[\tag{15}
L(t)=\int V(t)\,dt.
\]
Подставляя выражение для \(V(t)\), имеем
\[\tag{16}
L(t)
=
c \int \left(\ep +\em e^{i\omega t}\right)dt.
\]
Отсюда
\[\tag{17}
L(t)
=
ct\,\ep
+
{c\over i\omega}\em e^{i\omega t}
+
C.
\]
Так как \(1/i=-i\), то при выборе нулевой постоянной интегрирования получаем
\[\tag{18}
L(t)
=
ct\,\ep
-
{c\over \omega}e^{i\omega t}\, i\em.
\]
Раскрывая комплексную экспоненту, находим
\[\tag{19}
L(t)
=
ct\,\ep
+
{c\over \omega}\sin(\omega t)\, \em
-
{c\over \omega}\cos(\omega t)\, i \em.
\]
Следовательно, в пространственно-временных координатах \((ct,x,y,z)\) данный вектор перемещения имеет вид
\[\tag{20}
L(t)=
\begin{pmatrix}
ct\\
0\\
{c\over \omega}\sin(\omega t)\\
-{c\over \omega}\cos(\omega t)
\end{pmatrix}.
\]
Это означает, что перемещение имеет равномерную временную компоненту \(ct\), тогда как пространственная часть описывает окружность радиуса \(c/\omega\) в плоскости \((y,z)\).
Остановимся на этом радиусе более подробно.
Радиус электрона
Полученное выражение для радиуса пространственной части движения имеет важную физическую интерпретацию. Так как для волнового процесса
\[\tag{21}
\lambda={2\pi c\over \omega},
\]
то величину \(c/\omega\) можно записать в виде
\[\tag{22}
{c\over \omega}={\lambda\over 2\pi}.
\]
Следовательно, радиус внутреннего кругового движения равен
\[\tag{23}
r={\lambda\over 2\pi}.
\]
Существенно, что данное соотношение полностью совпадает с формулой,
полученной ранее при рассмотрении радиуса электрона:
\[\tag{24}
\lambda=2\pi r.
\]
Таким образом, радиус \(r\), возникающий в данной работе из интегрирования вектора движения \(V(t)\), имеет тот же вид, что и радиус электрона, полученный из волновой геометрии.
Это означает, что окружность внутреннего движения имеет длину, равную соответствующей длине волны.
Тем самым новая декартова интерпретация базиса приводит не только к винтовой траектории в пространстве-времени, но и к естественному появлению характерного радиуса
\[\tag{25}
r_e=r={\lambda\over 2\pi}.
\]
Тогда вектор перемещения можно переписать так
\[\tag{26}
L(t)=
\begin{pmatrix}
ct\\
0\\
r\sin(\omega t)\\
-r\cos(\omega t)
\end{pmatrix}.
\]
Полученный результат представляет особый интерес, поскольку радиус
электрона возникает непосредственно из геометрии движения в новом
декартовом базисе. При этом не требуется вводить дополнительные
предположения о внутренней структуре частицы: радиус определяется
интегрированием вектора скорости и волновым соотношением между длиной
волны и частотой.
Тем самым новая декартова интерпретация базиса связывает геометрию
внутреннего движения материальной точки с ранее полученной волновой
моделью радиуса электрона и служит естественным переходом к дальнейшему
выводу преобразований Лоренца.
Замечание о времени
В стандартной физике вращение в плоскости \((ct,x)\) — это не просто поворот, а преобразование Лоренца (буст).
Оно гиперболическое, а не тригонометрическое.
Однако в контексте данной работы, где \(ct\) рассматривается как полноценная пространственная координата в новом базисе, такое евклидово вращение становится допустимым геометрическим преобразованием.
Это принципиально отличает данный подход от классической теории относительности.
Используемые материалы
- Википедия. идемпотенты.
- Википедия. Idempotent (ring theory).



