В работе предлагается новый взгляд на геометрию комплексного пространства, основанный на декартовом базисе двух независимых комплексных плоскостей. Такой подход позволяет естественным образом построить четырёхмерное пространство-время, в котором координата времени и три пространственные координаты возникают как компоненты единой алгебраической структуры. На этой основе вводится вектор скорости материальной точки, описывающий её внутреннее волновое движение.

Интегрирование вектора скорости приводит к винтовой траектории движения и позволяет получить характерный радиус внутреннего вращения \(r=\lambda/2\pi\). Полученное выражение полностью совпадает с ранее выведенной формулой радиуса электрона, что устанавливает связь между новым декартовым базисом и волновой моделью элементарной частицы. Кроме того, данная конструкция служит отправной точкой для дальнейшего вывода преобразований Лоренца и происхождения лоренц-фактора.

Особый интерес представляет то, что предложенная конструкция объединяет в рамках единой модели как комплексную мнимую единицу \(i\), так и гиперболическую единицу \(\j\), что открывает возможность совместного использования обеих алгебраических структур при описании физических процессов.

Комплексные числа традиционно рассматриваются как элементы двумерного пространства с декартовым базисом \(\{1,i\}\), где \(i^2=-1\). Такое представление является естественным для большинства задач анализа и геометрии, однако не является единственно возможным. В настоящей работе предлагается альтернативный подход, основанный на представлении пространства как прямой суммы двух независимых комплексных плоскостей. Каждая из них обладает собственной действительной и мнимой осями, при этом обе используют общую мнимую единицу \(i\). Для описания этих плоскостей вводятся два взаимно ортогональных базисных элемента \(\ep\) и \(\em\), разделяющие пространство на две независимые комплексные компоненты. В результате возникает естественный декартов базис \[ \tag{1} \{\ep,i\ep,\em,i\em\}. \] Любой элемент нового пространства представляется в виде суммы двух независимых комплексных чисел \[ Z=(a+ib)\ep+(c+id)\em, \] где: \(a,b,c,d\in\mathbb R\).

При таком построении гиперболическая единица \[ \tag{2} \j = \ep - \em \] оказывается не исходным объектом, а производным элементом, естественно возникающим как разность двух базисных элементов.

Предлагаемый базис представляет интерес не только как самостоятельная алгебраическая конструкция, но и как средство описания более общей модели Единичного пространства. В рамках этой модели постулируется, что движение любой материальной точки всегда является одномерным и описывается только двумя координатами: координатой времени и координатой пространства. Следовательно, наблюдаемая многомерность мира должна возникать не за счёт увеличения числа независимых направлений движения, а посредством объединения нескольких одномерных пространств в единую алгебраическую структуру.

В настоящей работе показано, что такую структуру естественным образом образуют две независимые комплексные плоскости, каждая из которых соответствует собственному одномерному пространству. Их объединение приводит к появлению четырёхмерного декартова базиса (1), который далее рассматривается как математическая основа построения единого четырёхмерного пространства.

Кроме того, предлагаемый декартов базис непосредственно связан с результатами, полученными в данной статье, где было показано, что комплексная и гиперболическая алгебры могут рассматриваться в рамках единой математической конструкции.

Поскольку элементы \(\ep\) и \(\em\) описывают две независимые комплексные плоскости, они должны удовлетворять следующим естественным условиям.

Первые два равенства означают, что повторное проектирование на одну и ту же комплексную плоскость не изменяет результат. Третье выражает независимость обеих плоскостей, а последнее показывает, что их сумма образует единичный элемент пространства. Следовательно, любой элемент нового пространства единственным образом раскладывается по базису (1).

Следует отметить, что элементы \(\ep\) и \(\em\) не являются новыми математическими объектами. Они представляют собой хорошо известные идемпотенты [1-2], широко применяемые в различных разделах алгебры для разложения пространства на независимые компоненты. В литературе они обычно обозначаются символами \(e_+\) и \(e_-\) и определяются как \[\tag{4} \ep\equiv e_+=\frac{1+\j}{2}, \qquad \em\equiv e_-=\frac{1-\j}{2}. \] В настоящей работе, сохраняя их математический смысл без изменений, используются эквивалентные обозначения \(\ep\) и \(\em\), которые делают математические выражения более компактными и наглядными. Новизна предлагаемого подхода заключается не во введении новых алгебраических элементов, а в их интерпретации как декартова базиса двух независимых комплексных плоскостей, что позволяет построить единую четырёхмерную систему координат.

Ещё одним важным свойством нового базиса является существование естественной нормы. Рассмотрим произвольный элемент \[\tag{5} J= \ep e^{ig} + \em e^{ih}, \] где \(g\) и \(h\) — независимые фазовые углы двух комплексных плоскостей.

Комплексное сопряжение имеет вид \[\tag{6} J^*= \ep e^{-ig} + \em e^{-ih}. \] Тогда модуль определяется произведением \[ |J|^2 = JJ^*. \] Используя свойства идемпотент (3) \[\tag{7} \ep^2=\ep, \qquad \em^2=\em, \qquad \ep\em=0, \] получаем \[\tag{8} |J|^2 = \ep + \em = 1. \] Следовательно, \[\tag{9} |J|=1. \]

Таким образом, независимо от значений фаз \(g\) и \(h\), элемент \(J\) всегда принадлежит единичному многообразию нового пространства. Это свойство является прямым аналогом единичной окружности комплексной плоскости, однако теперь оно одновременно выполняется для двух независимых комплексных компонент. В дальнейшем именно сохранение этой нормы будет играть ключевую роль при построении векторов движения и исследовании их геометрических свойств. Из неё, например, будет прямо следовать закон сохранения энергии в замкнутой системе.

Введённый базис допускает естественную геометрическую интерпретацию. Будем рассматривать идемпотенту \(\ep \) как направление времени, а три оставшиеся базисные компоненты — как ортогональные пространственные координаты. Тогда между элементами базиса и координатами пространства-времени устанавливается следующее соответствие: \[\tag{10} \begin{aligned} \ep &\longleftrightarrow ct,\\ i\ep &\longleftrightarrow x,\\ \em &\longleftrightarrow y,\\ i\em &\longleftrightarrow z. \end{aligned} \] Тем самым базис \[ \{\ep ,\;i\ep ,\;\em,\;i\em\} \] приобретает смысл четырёхмерного пространства \(\{ct,x,y,z\}\), в котором координата времени является не отдельной величиной, а одной из компонент единой алгебраической структуры.

На основе такого представления введём вектор скорости \[\tag{11} V(t)=c\left(\ep +\em e^{i\omega t}\right), \] где \(c\) — скорость света, \(\omega\) — угловая частота внутреннего движения, а \(t\) — время.

Используя формулу Эйлера, \[ e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t), \] получаем \[\tag{12} V(t) = c \left(\ep + \cos(\omega t)\,\em + \sin(\omega t)\,i\em\right) \] Следовательно, в координатном представлении данный вектор имеет вид \[\tag{13} V(t)= \begin{pmatrix} c\\ 0\\ c\cos(\omega t)\\ c\sin(\omega t) \end{pmatrix}, \] что соответствует движению в пространстве-времени \[\tag{14} (ct,x,y,z). \] Это отражено на следующем рисунке.

Таким образом, в рассматриваемой модели материальная точка непрерывно движется вдоль временной координаты со скоростью света, одновременно совершая внутреннее круговое движение в плоскости \((y,z)\). Координата \(x\) при этом остаётся равной нулю и может возникать при переходе к другой системе отсчёта. В статье «Происхождение лоренц-фактора» показано, что именно такая геометрическая интерпретация приводит к естественному появлению преобразований Лоренца и соответствующего лоренц-фактора.

Поскольку величина \(V(t)\) задаёт вектор движения, соответствующий вектор перемещения можно получить интегрированием по времени: \[\tag{15} L(t)=\int V(t)\,dt. \] Подставляя выражение для \(V(t)\), имеем \[\tag{16} L(t) = c \int \left(\ep +\em e^{i\omega t}\right)dt. \] Отсюда \[\tag{17} L(t) = ct\,\ep + {c\over i\omega}\em e^{i\omega t} + C. \]

Так как \(1/i=-i\), то при выборе нулевой постоянной интегрирования получаем \[\tag{18} L(t) = ct\,\ep - {c\over \omega}e^{i\omega t}\, i\em. \] Раскрывая комплексную экспоненту, находим \[\tag{19} L(t) = ct\,\ep + {c\over \omega}\sin(\omega t)\, \em - {c\over \omega}\cos(\omega t)\, i \em. \]

Следовательно, в пространственно-временных координатах \((ct,x,y,z)\) данный вектор перемещения имеет вид \[\tag{20} L(t)= \begin{pmatrix} ct\\ 0\\ {c\over \omega}\sin(\omega t)\\ -{c\over \omega}\cos(\omega t) \end{pmatrix}. \] Это означает, что перемещение имеет равномерную временную компоненту \(ct\), тогда как пространственная часть описывает окружность радиуса \(c/\omega\) в плоскости \((y,z)\). Остановимся на этом радиусе более подробно.

Полученное выражение для радиуса пространственной части движения имеет важную физическую интерпретацию. Так как для волнового процесса \[\tag{21} \lambda={2\pi c\over \omega}, \] то величину \(c/\omega\) можно записать в виде \[\tag{22} {c\over \omega}={\lambda\over 2\pi}. \] Следовательно, радиус внутреннего кругового движения равен \[\tag{23} r={\lambda\over 2\pi}. \]

Тем самым новая декартова интерпретация базиса приводит не только к винтовой траектории в пространстве-времени, но и к естественному появлению характерного радиуса \[\tag{25} r_e=r={\lambda\over 2\pi}. \] Тогда вектор перемещения можно переписать так \[\tag{26} L(t)= \begin{pmatrix} ct\\ 0\\ r\sin(\omega t)\\ -r\cos(\omega t) \end{pmatrix}. \]

Полученный результат представляет особый интерес, поскольку радиус электрона возникает непосредственно из геометрии движения в новом декартовом базисе. При этом не требуется вводить дополнительные предположения о внутренней структуре частицы: радиус определяется интегрированием вектора скорости и волновым соотношением между длиной волны и частотой.

Тем самым новая декартова интерпретация базиса связывает геометрию внутреннего движения материальной точки с ранее полученной волновой моделью радиуса электрона и служит естественным переходом к дальнейшему выводу преобразований Лоренца.

В стандартной физике вращение в плоскости \((ct,x)\) — это не просто поворот, а преобразование Лоренца (буст). Оно гиперболическое, а не тригонометрическое. Однако в контексте данной работы, где \(ct\) рассматривается как полноценная пространственная координата в новом базисе, такое евклидово вращение становится допустимым геометрическим преобразованием. Это принципиально отличает данный подход от классической теории относительности.