2026-08-05
Геометрическое происхождение электрического и магнитного полей
Почему один и тот же заряд в состоянии покоя создаёт электрическое поле, а при движении рядом с ним обнаруживается ещё и магнитное? Обычно электрическое и магнитное поля вводятся как две связанные составляющие единого электромагнитного поля. Но при этом остаётся геометрический вопрос: почему движение источника вообще открывает новое направление поля и почему его величина в первом приближении пропорциональна отношению \(v/c\)?
В предлагаемой модели ответ связывается с многоуровневым идемпотентным расщеплением пространства. При движении активируется первое расщепление канала внешнего состояния источника на исходную и ортогональную ветви. После физического отображения исходная ветвь проявляется как электрическая компонента, а глубокий ортогональный остаток — как магнитная.
Это уточняет прежнюю интерпретацию. Магнитное поле соответствует не одному дополнительному направлению и не просто мнимой части комплексной экспоненты. Оно является наблюдаемым образом всего глубокого ортогонального остатка, возникающего после выделения первой ветви пространства. Комплексная запись \(E+i\,cB\) будет получена позднее как конечное, сжатое представление этой более глубокой структуры.
Один и тот же геометрический механизм приводит сразу к двум результатам. Полная ненормированная глубина расщепления имеет норму \(\gamma\), то есть создаёт фактор Лоренца. После нормировки первая ветвь имеет амплитуду \(1/\gamma\), а весь ортогональный остаток — амплитуду \(\beta=v/c\). Поэтому
\[\tag{1}
\boxed{
\text{полная глубина расщепления}\longrightarrow\gamma,
\qquad
\text{первое наблюдаемое разделение}\longrightarrow E,\;B.
}
\]
Ниже сначала будет найден исходный масштаб поля покоя \(E_0\), затем построено нормированное глубокое состояние, после чего его первое идемпотентное расщепление будет физически сопоставлено электрической и магнитной составляющим. Направление магнитного поля появится только на заключительном этапе — при отображении абстрактной ортогональной ветви в трёхмерное пространство.
Основное равенство норм будет получено для полного поперечного расщепления, соответствующего геометрии \(\mathbf v\perp\mathbf R\). Для произвольного угла наблюдаемое магнитное поле является только трёхмерной проекцией глубокой ветви. Это различие будет рассмотрено отдельно.
1. Поле покоя как исходный масштаб
Рассмотрим два элементарных заряда, находящихся на расстоянии \(R\). В предыдущей работе для них была получена энергия взаимодействия
\[\tag{2}
U(R)=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{R}.
\]
Знак энергии определяется взаимной ориентацией зарядов. Для построения модуля поля рассмотрим абсолютную величину силы, равной отрицательному градиенту потенциальной энергии:
\[\tag{3}
F(R)=-\frac{dU}{dR},
\qquad
|F(R)|=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{R^2}.
\]
Электрическое поле источника определяется как сила, приходящаяся на единицу пробного заряда. Для пробного заряда с модулем \(e\) получаем
\[\tag{4}
E_0(R)=\frac{|F(R)|}{e}
=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{eR^2}.
\]
Используя определение постоянной тонкой структуры
\[\tag{5}
\alpha_{\mathrm{fs}}
=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c},
\]
получаем стандартную величину поля покоящегося элементарного заряда:
\[\tag{6}
\boxed{
E_0(R)
=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{eR^2}
=\frac{e}{4\pi\varepsilon_0R^2}
}.
\]
Для произвольного точечного заряда \(q\) поле пропорционально отношению \(q/e\). После перехода к трёхмерной записи имеем
\[\tag{7}
\boxed{
\mathbf E_0(\mathbf R)
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\widehat{\mathbf R},
\qquad
\widehat{\mathbf R}=\frac{\mathbf R}{R}.
}
\]
Каждому направлению \(\widehat{\mathbf R}\) соответствует одна одномерная силовая линия модели. Совокупность всех равноправных радиальных направлений образует сферически симметричное поле точечного заряда.
Величина \(E_0(R)\) будет иметь двойной смысл. Для покоящегося источника она непосредственно равна наблюдаемому электрическому полю. Для движущегося источника она служит исходным полным масштабом внешнего состояния до его разделения на электрическую и магнитную составляющие:
\[\tag{8}
\beta=0:
\qquad
E=E_0,
\qquad
B=0.
\]
2. Почему движение связывается с расщеплением
Само наличие нескольких математических каналов ещё не определяет их физический смысл. Идемпотентная алгебра отвечает на вопрос, какие независимые части могут существовать, но не назначает одной части электрическую, а другой магнитную природу. Такое назначение требует отдельного физического отображения.
Здесь необходимо уточнить, что именно подвергается расщеплению. Речь идёт не о буквальном разделении уже существующего физического пространства. Движение активирует расщепление канала внешнего состояния волновой структуры. Возникающие при этом независимые ортогональные каналы затем отображаются как пространственные направления и связанные с ними наблюдаемые компоненты поля. Поэтому выражение «расщепление пространства» далее используется в сокращённом смысле — как образование системы независимых каналов, из которой проявляется пространственная структура.
В данной модели принимается следующее соответствие. Пока центр волны покоится, переход из начального внешнего направления в глубокую ортогональную ветвь имеет нулевую амплитуду. Поэтому весь доступный масштаб \(E_0\) проявляется как электрическое поле. При движении с безразмерной скоростью
\[\tag{9}
\beta=\frac{v}{c},
\qquad |\beta|<1,
\]
появляется переход в ортогональный остаток пространства. Его относительная амплитуда на каждом следующем уровне снова умножается на \(\beta\). Пространство тем самым воспроизводит себя после каждого расщепления.
Именно это самоподобие отличает новую интерпретацию от простого двумерного поворота. За наблюдаемой магнитной составляющей скрывается не одна ось, а вся последовательность вложенных ортогональных направлений.
3. Глубокое состояние движения
Введём ортонормированные направления глубокого пространства
\[\tag{10}
\boldsymbol{\xi}_n\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\xi}_m
=\delta_{nm},
\qquad n,m=0,1,2,\ldots
\]
и оператор сдвига \(S\), переводящий состояние на следующий ортогональный уровень:
\[\tag{11}
S\boldsymbol{\xi}_n=\boldsymbol{\xi}_{n+1}.
\]
Если каждый переход сопровождается одним и тем же коэффициентом \(\beta\), естественное глубокое состояние имеет вид
\[\tag{12}
\boxed{
\GF
=\boldsymbol{\xi}_0
+\beta\boldsymbol{\xi}_1
+\beta^2\boldsymbol{\xi}_2
+\beta^3\boldsymbol{\xi}_3+\cdots
}.
\]
То же состояние можно записать рекурсивно:
\[\tag{13}
\boxed{
\GF
=\boldsymbol{\xi}_0+\beta S\GF.
}
\]
После выделения начального направления \(\boldsymbol{\xi}_0\) остаётся перенесённая копия всего исходного состояния. Поэтому второе слагаемое формулы (13) является не единственным каналом, а полным остаточным пространством.
Благодаря ортогональности направлений квадрат нормы равен
\[\tag{14}
\begin{aligned}
\|\GF\|^2
&=1+\beta^2+\beta^4+\beta^6+\cdots\\
&=\frac{1}{1-\beta^2}.
\end{aligned}
\]
Следовательно, как подробно показано в статье «Геометрическое происхождение фактора Лоренца и энергетического инварианта»,
\[\tag{15}
\boxed{
\|\GF\|
=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
=\gamma.
}
\]
Фактор Лоренца возникает здесь как метрическая длина всего ненормированного глубокого состояния. Для этого результата необходимы не только идемпотенты, но и ортогональность глубоких направлений, их метрика, самоподобие остаточного пространства и единый коэффициент перехода \(\beta\).
4. Нормированное состояние
Для сопоставления с конечным оператором и с полями нормируем глубокое состояние:
\[\tag{16}
\boxed{
\NF=\frac{\GF}{\gamma},
\qquad
\|\NF\|=1.
}
\]
В развёрнутом виде
\[\tag{17}
\NF
=\frac1\gamma\boldsymbol{\xi}_0
+\frac\beta\gamma\boldsymbol{\xi}_1
+\frac{\beta^2}{\gamma}\boldsymbol{\xi}_2
+\frac{\beta^3}{\gamma}\boldsymbol{\xi}_3+\cdots.
\]
Разделим выражение не на отдельные члены, а на начальную ветвь и весь последующий остаток:
\[\tag{18}
\boxed{
\NF
=\frac1\gamma\boldsymbol{\xi}_0
+\beta S\NF.
}
\]
Первая часть находится в направлении \(\boldsymbol{\xi}_0\). Вторая часть лежит в ортогональном подпространстве, натянутом на \(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\ldots\). Это и есть первый уровень разделения полного нормированного состояния.
5. Идемпотентные проекторы электрической и магнитной ветвей
Чтобы выразить первое расщепление строго, введём два ортогональных линейных проектора. Проектор \(\PE\) выделяет начальное направление \(\boldsymbol{\xi}_0\), а \(\PB\) — всё его ортогональное дополнение:
\[\tag{19}
\PE=|\boldsymbol{\xi}_0\rangle\langle\boldsymbol{\xi}_0|,
\qquad
\PB=I-\PE.
\]
Эти проекторы идемпотентны, взаимно аннулируются и в сумме образуют единицу пространства:
\[\tag{20}
\boxed{
\PE^2=\PE,
\qquad
\PB^2=\PB,
\qquad
\PE\PB=\PB\PE=0,
\qquad
\PE+\PB=I.
}
\]
Следовательно, здесь действует тот же структурный принцип, что и при обычном идемпотентном расщеплении. Любое состояние единственным образом разделяется на две независимые части:
\[\tag{21}
\NF=\PE\NF+\PB\NF.
\]
Для состояния (18) эти части равны
\[\tag{22}
\boxed{
\PE\NF=\frac1\gamma\boldsymbol{\xi}_0,
\qquad
\PB\NF=\beta S\NF.
}
\]
При желании двум проекторам можно сопоставить инволюцию
\[\tag{23}
\j_F=\PE-\PB,
\qquad
\j_F^2=I,
\]
тогда
\[\tag{24}
\PE=\frac{I+\j_F}{2},
\qquad
\PB=\frac{I-\j_F}{2}.
\]
Формулы (23)–(24) показывают точное соответствие с гиперболической единицей и парой взаимно дополнительных идемпотентов. Однако \(\PE\) и \(\PB\) являются проекторами глубокого метрического пространства; их не следует автоматически отождествлять с исходными алгебраическими идемпотентами \(\ep\) и \(\em\) конечного оператора \(J\). Эти конструкции принадлежат разным уровням описания.
6. Норма глубокого остатка
Главное свойство второго проектора состоит в том, что он выделяет весь остаток:
\[\tag{25}
\PB\NF
=\frac\beta\gamma\boldsymbol{\xi}_1
+\frac{\beta^2}{\gamma}\boldsymbol{\xi}_2
+\frac{\beta^3}{\gamma}\boldsymbol{\xi}_3+\cdots.
\]
Вычислим его норму:
\[\tag{26}
\begin{aligned}
\|\PB\NF\|^2
&=\frac{\beta^2}{\gamma^2}
\left(1+\beta^2+\beta^4+\cdots\right)\\
&=\frac{\beta^2}{\gamma^2}\,\gamma^2
=\beta^2.
\end{aligned}
\]
Поэтому
\[\tag{27}
\boxed{
\|\PE\NF\|=\frac1\gamma,
\qquad
\|\PB\NF\|=\beta.
}
\]
Это принципиальный результат. Глубокая ветвь начинается с члена \((\beta/\gamma)\boldsymbol{\xi}_1\), но не сводится к нему. Если бы магнитной составляющей сопоставлялся только первый дополнительный канал, её относительная величина была бы \(\beta/\gamma\). Суммарная норма всей бесконечной остаточной ветви равна именно \(\beta\).
Так как обе части ортогональны, нормировка полного состояния даёт
\[\tag{28}
\boxed{
\|\PE\NF\|^2+\|\PB\NF\|^2
=\frac1{\gamma^2}+\beta^2=1.
}
\]
Таким образом, конечное тождество \(1/\gamma^2+\beta^2=1\) выражает норму первого расщепления, тогда как сама величина \(\gamma\) создаётся полной бесконечной глубиной состояния.
7. Физическое отображение в электрическую и магнитную составляющие
Теперь введём физическое соответствие между двумя геометрическими ветвями и полем. Исходному масштабу \(E_0(R)\) сопоставим нормированное глубокое состояние
Электрической составляющей сопоставим выделенную ветвь \(\PE\NF\), а полной магнитной составляющей — весь ортогональный остаток \(\PB\NF\):
\[\tag{30}
\boxed{
\frac{E}{E_0}
\;\longleftrightarrow\;
\|\PE\NF\|,
\qquad
\frac{cB_{\mathrm{full}}}{E_0}
\;\longleftrightarrow\;
\|\PB\NF\|.
}
\]
Множитель \(c\) переводит магнитную индукцию в ту же размерность, что и напряжённость электрического поля. Используя формулу (27), получаем
\[\tag{31}
\boxed{
E(R,\beta)=\frac{E_0(R)}{\gamma},
\qquad
cB_{\mathrm{full}}(R,\beta)=E_0(R)\beta.
}
\]
Здесь \(B_{\mathrm{full}}\) обозначает полный модуль глубокой магнитной ветви до выбора конкретного направления наблюдения в трёхмерном пространстве. Для полной поперечной геометрии он совпадёт с наблюдаемым магнитным полем.
Из ортогональности проекторов непосредственно следует нормировочное равенство
\[\tag{32}
\boxed{
E^2+c^2B_{\mathrm{full}}^2=E_0^2.
}
\]
Формула (30) является физическим отображением модели. Она не следует из одной лишь идемпотентности проекторов. Геометрия однозначно даёт нормы \(1/\gamma\) и \(\beta\), после чего модель сопоставляет им нормированные электрическую и магнитную составляющие.
8. Состояние покоя
При неподвижном источнике
\[\tag{33}
\beta=0,
\qquad
\gamma=1.
\]
Глубокое состояние вырождается в начальное направление:
\[\tag{34}
\mathbf N_0=\boldsymbol{\xi}_0,
\qquad
\PE\mathbf N_0=\boldsymbol{\xi}_0,
\qquad
\PB\mathbf N_0=0.
\]
Поэтому весь исходный масштаб поля находится в электрической ветви:
\[\tag{35}
\boxed{
\beta=0:
\qquad
E=E_0,
\qquad
B=0.
}
\]
Магнитное поле отсутствует не потому, что ортогональное подпространство принципиально невозможно. При покое равна нулю амплитуда перехода в него. Движение не создаёт готовое пространство заново, а активирует ортогональный остаток внешнего канала; при пространственном отображении этот остаток становится магнитной ветвью поля.
9. Движение и открытие глубокой ветви
При \(\beta>0\) нормированное состояние приобретает две ненулевые составляющие:
\[\tag{36}
\NF
=\underbrace{\frac1\gamma\boldsymbol{\xi}_0}_{\text{электрическая ветвь}}
+\underbrace{\beta S\NF}_{\text{глубокая магнитная ветвь}}.
\]
С увеличением скорости норма первой части уменьшается как
\[
\frac1\gamma=\sqrt{1-\beta^2},
\]
а норма второй возрастает как \(\beta\). При малой скорости
\[\tag{37}
\frac1\gamma
=1-\frac{\beta^2}{2}+O(\beta^4).
\]
Поэтому электрическая составляющая меняется только во втором порядке по скорости, тогда как магнитная появляется уже в первом:
\[\tag{38}
E\approx E_0\left(1-\frac{\beta^2}{2}\right),
\qquad
cB_{\mathrm{full}}\approx E_0\beta.
\]
Именно поэтому в нерелятивистском режиме электрическое поле может почти не отличаться от поля покоящегося заряда, хотя слабое магнитное поле уже существует.
10. Конечный оператор \(J\) как сжатое представление
Полное фазовое состояние частицы в конечной сплит-геометрии описывается оператором
\[\tag{39}
\boxed{
J(a,b)=\j^a(-\j)^b
=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}.
}
\]
Параметр \(a\) описывает внутреннее периодическое состояние, а параметр \(b\) — внешнее движение:
\[\tag{40}
a=\varpi t,
\qquad
\pi\varpi=\omega,
\qquad
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi}.
\]
Внешняя ветвь оператора равна
\[\tag{41}
J_{\mathrm{ext}}(b)=\ep e^{i\pi b}.
\]
Из связи конечного оператора с глубоким состоянием следует
\[\tag{42}
\sin(\pi b)=\beta,
\qquad
\cos(\pi b)=\frac1\gamma.
\]
Поэтому
\[\tag{43}
\boxed{
J_{\mathrm{ext}}(b)
=\ep\left(\frac1\gamma+i\beta\right).
}
\]
Теперь смысл комплексного разложения становится более глубоким. Конечный оператор не показывает каждый канал \(\boldsymbol{\xi}_n\) отдельно. Он сжимает бесконечное состояние до двух величин: нормы выделенной ветви \(1/\gamma\) и нормы всего ортогонального остатка \(\beta\). Поэтому соответствие можно записать как
\[\tag{44}
\boxed{
\NF
=\frac1\gamma\boldsymbol{\xi}_0+\beta S\NF
\quad\longrightarrow\quad
e^{i\pi b}=\frac1\gamma+i\beta.
}
\]
После физического отображения на поле это даёт единую конечную запись
\[\tag{45}
\boxed{
E+i\,cB_{\mathrm{full}}
=E_0e^{i\pi b}.
}
\]
Действительная и мнимая части формулы (45) не являются сами по себе идемпотентами. Они представляют две конечные квадратурные проекции глубоких идемпотентных ветвей. Поэтому комплексная формула является отображением расщепления, а не заменяет его математический механизм.
11. Направление магнитного поля в трёхмерном пространстве
Глубокое расщепление определяет относительный модуль второй ветви, но само по себе ещё не задаёт направление магнитного поля в нашей трёхмерной реальности. Для этого необходимы два наблюдаемых вектора:
\[\tag{46}
\boldsymbol{\beta}=\frac{\mathbf v}{c},
\qquad
\mathbf E_0(\mathbf R)=E_0(R)\widehat{\mathbf R}.
\]
Скорость источника и радиальное направление электрической силовой линии образуют ориентированную плоскость. Её нормаль задаётся векторным произведением
\[
\boldsymbol{\beta}\times\widehat{\mathbf R}.
\]
Поэтому пространственное отображение магнитной ветви определяется формулой
\[\tag{47}
\boxed{
\mathbf B(\mathbf R)
=\frac1c\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E_0(\mathbf R)
=\frac1{c^2}\mathbf v\times\mathbf E_0(\mathbf R).
}
\]
Для точечного заряда подстановка формулы (7) даёт
\[\tag{48}
\mathbf B(\mathbf R)
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0c^2}
\frac{\mathbf v\times\widehat{\mathbf R}}{R^2}.
\]
Учитывая \(\mu_0\varepsilon_0c^2=1\), получаем
\[\tag{49}
\boxed{
\mathbf B(\mathbf R)
=\frac{\mu_0q}{4\pi}
\frac{\mathbf v\times\widehat{\mathbf R}}{R^2}.
}
\]
Это выражение совпадает с нерелятивистской формой магнитного поля равномерно движущегося точечного заряда. Таким образом, глубокое расщепление задаёт коэффициент \(\beta\), а трёхмерное отображение сообщает магнитной ветви направление.
12. Полная ветвь и её наблюдаемая проекция
Пусть \(\theta\) — угол между \(\mathbf v\) и \(\mathbf R\). Из формулы (47) следует
\[\tag{50}
B(R,\beta,\theta)
=\frac{E_0(R)}{c}\,\beta\sin\theta.
\]
Необходимо различать полный модуль глубокой магнитной ветви и её наблюдаемую пространственную проекцию:
\[\tag{51}
\boxed{
cB_{\mathrm{full}}=E_0\beta,
\qquad
cB(\theta)=E_0\beta\sin\theta.
}
\]
При поперечной геометрии
\[\tag{52}
\theta=\frac\pi2
\qquad\Longrightarrow\qquad
B=B_{\mathrm{full}}.
\]
Именно в этом случае обе ветви первого расщепления полностью отображаются в наблюдаемые \(E\) и \(B\), поэтому
\[\tag{53}
\boxed{
\mathbf v\perp\mathbf R:
\qquad
E^2+c^2B^2=E_0^2.
}
\]
При произвольном угле в магнитную индукцию отображается только поперечная часть глубокой ветви. Поэтому для непосредственно наблюдаемых в данной точке величин
\[\tag{54}
E^2+c^2B^2(\theta)
=E_0^2\left(1-\beta^2\cos^2\theta\right).
\]
Это не означает нарушения нормировки полного глубокого состояния. Разность связана с дополнительной трёхмерной проекцией: при \(\theta\ne\pi/2\) магнитное отображение не использует весь модуль ортогонального остатка. В частности, при \(\mathbf v\parallel\mathbf R\) векторное произведение обращается в нуль, хотя само глубокое состояние движения продолжает зависеть от \(\beta\).
13. Смысл нормировочного равенства
Равенство
\[\tag{55}
E^2+c^2B_{\mathrm{full}}^2=E_0^2
\]
выражает сохранение евклидовой нормы двух ортогональных ветвей внутреннего геометрического состояния. Его можно назвать нормировочным инвариантом расщеплённого состояния поля.
Этот результат не следует отождествлять со стандартным лоренц-инвариантом электромагнитного тензора, содержащим разность \(E^2-c^2B^2\). Два выражения относятся к разным математическим объектам. Сумма квадратов в формуле (55) описывает внутреннюю норму принятого в модели расщепления, тогда как стандартная разность характеризует преобразования физического электромагнитного тензора между инерциальными системами отсчёта.
Также рассматриваемая конструкция не описывает свободную бегущую электромагнитную волну. В бегущей волне поля \(\mathbf E\) и \(\mathbf B\) изменяются синфазно и связаны соотношением \(\mathbf B=\widehat{\mathbf k}\times\mathbf E/c\). Здесь же исследуется локализованный режим частицы и геометрическое разделение исходного масштаба её внешнего состояния.
14. Единое происхождение магнитного поля и фактора Лоренца
Теперь связь между двумя результатами можно записать полностью. Ненормированное состояние
\[\tag{56}
\GF=\boldsymbol{\xi}_0+\beta S\GF
\]
имеет длину
\[\tag{57}
\|\GF\|=\gamma.
\]
После нормировки то же состояние принимает вид
\[\tag{58}
\NF
=\frac1\gamma\boldsymbol{\xi}_0
+\beta S\NF.
\]
Отсюда следуют три связанные, но различные величины:
\[\tag{59}
\boxed{
\begin{aligned}
\gamma
&=\text{норма полного ненормированного глубокого состояния},\\
\frac1\gamma
&=\text{норма выделенной начальной ветви},\\
\beta
&=\text{норма всего глубокого ортогонального остатка}.
\end{aligned}
}
\]
После принятого физического отображения начальная ветвь проявляется как электрическая составляющая, а глубокий остаток — как магнитная. Поэтому фактор Лоренца и магнитное поле не выводятся друг из друга. Они параллельно возникают из одной рекурсивной геометрии:
\[\tag{60}
\boxed{
\begin{gathered}
\GF=\{1,\beta,\beta^2,\ldots\},
\qquad
\|\GF\|=\gamma,\\[2mm]
\NF=\frac1\gamma\boldsymbol{\xi}_0+\beta S\NF,\\[2mm]
\frac{E}{E_0}=\frac1\gamma,
\qquad
\frac{cB_{\mathrm{full}}}{E_0}=\beta.
\end{gathered}
}
\]
15. Что получено из геометрии, а что вводится физически
Для оценки результата необходимо разделять три уровня построения.
Из геометрии глубокого пространства, после введения его метрики, ортогональности, самоподобия и коэффициента перехода \(\beta\), следуют
\[\tag{61}
\GF=\boldsymbol{\xi}_0+\beta S\GF,
\qquad
\|\GF\|=\gamma.
\]
Из первого идемпотентного проектирования нормированного состояния следуют
\[\tag{62}
\PE\NF=\frac1\gamma\boldsymbol{\xi}_0,
\qquad
\PB\NF=\beta S\NF,
\qquad
\frac1{\gamma^2}+\beta^2=1.
\]
Дополнительными физическими отображениями модели являются соответствия
\[\tag{63}
\frac{E}{E_0}=\frac1\gamma,
\qquad
\frac{cB_{\mathrm{full}}}{E_0}=\beta,
\qquad
\mathbf B=\frac1c\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E_0.
\]
После принятия этих отображений однозначно получаются
\[\tag{64}
E=\frac{E_0}{\gamma},
\qquad
cB_{\mathrm{full}}=E_0\beta,
\qquad
E^2+c^2B_{\mathrm{full}}^2=E_0^2.
\]
Такое разграничение существенно: идемпотентная алгебра создаёт независимые каналы, метрика сообщает им нормы, а физическое отображение определяет, какие наблюдаемые величины соответствуют этим каналам.
16. Границы применимости
Полученный результат является принципиальной геометрической конструкцией, а не завершённой электродинамикой. Поэтому необходимо указать её границы.
Во-первых, рассматривается локализованный волновой режим частицы, а не свободное электромагнитное излучение. Во-вторых, формула \(E=E_0/\gamma\) является физическим отображением данной модели и в общем случае не совпадает с полным стандартным релятивистским преобразованием поля движущегося точечного заряда, где напряжённость зависит также от угла наблюдения и системы отсчёта.
В-третьих, равенство \(E^2+c^2B^2=E_0^2\) относится к полному абстрактному расщеплению либо к его поперечному трёхмерному отображению. Для произвольного угла наблюдаемое магнитное поле содержит дополнительный множитель \(\sin\theta\).
В-четвёртых, само существование идемпотентных проекторов ещё не доказывает, что соответствующие ветви обязаны проявляться именно как электрическое и магнитное поля. Такое соответствие является физической гипотезой модели. Её ценность определяется тем, что после отображения в 3D она воспроизводит правильную нерелятивистскую зависимость \(\mathbf B\propto\mathbf v\times\mathbf E_0\) и связывает её с уже независимо полученным геометрическим происхождением фактора Лоренца.
Выводы
Электрическая и магнитная составляющие в предлагаемой модели являются двумя наблюдаемыми проявлениями первого уровня глубокого пространственного расщепления. После нормировки самоподобного состояния его начальная ветвь имеет амплитуду \(1/\gamma\), а полный ортогональный остаток — амплитуду \(\beta\).
Начальной ветви сопоставляется электрическая составляющая
\[
E=\frac{E_0}{\gamma},
\]
а всему глубокому остатку — полный масштаб магнитной составляющей
\[
cB_{\mathrm{full}}=E_0\beta.
\]
Магнитное поле тем самым соответствует не одному дополнительному каналу, а совокупности всех последующих уровней расщепления. Первый член этой последовательности имеет амплитуду \(\beta/\gamma\), однако норма всей бесконечной ветви равна \(\beta\).
Тот же рекурсивный ряд до нормировки имеет длину \(\gamma\). Поэтому магнитное поле и фактор Лоренца получают общее геометрическое происхождение: фактор Лоренца характеризует полную метрическую глубину состояния, а магнитное поле является физическим проявлением его остаточной ветви после первого расщепления.
Конечный оператор \(J(a,b)\) сжимает эту структуру до двух внешних проекций:
\[\tag{65}
\boxed{
e^{i\pi b}=\frac1\gamma+i\beta.
}
\]
После физического отображения получаем
\[\tag{66}
\boxed{
E+i\,cB_{\mathrm{full}}=E_0e^{i\pi b}.
}
\]
Таким образом, движение не создаёт вторую независимую энергетическую сущность. Оно открывает ортогональную ветвь уже существующего состояния пространства. Глубокая геометрия определяет величину этой ветви, а отображение в трёхмерное пространство сообщает ей направление
\[\tag{67}
\boxed{
\mathbf B
=\frac1c\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E_0
=\frac1{c^2}\mathbf v\times\mathbf E_0.
}
\]
В этом смысле магнитное поле можно рассматривать как первое непосредственно наблюдаемое проявление многоуровневого идемпотентного расщепления внешнего пространства.